18. Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого 49 см2 . Найдите боковую поверхность цилиндра.

Обозначим концы средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AB, за MN. При этом M - середина стороны AC, а N - середина стороны BC.
Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны треугольника, которой параллельна эта средняя линия.
Т.к. MN || AB, то |MN|=1/2|AB|.

AB²=(1-(-1))²+(0-2)²+(4-3)²=4+4+1=9=3²

Значит, длина стороны AB равна 3, а длина средней линии MN равна 3/2=1,5.

Это простое решение, в котором не нужны даже координаты точки C.
Можно решать сложно, определяя координаты точке M и N и вычисляя затем длину отрезка MN по координатам:

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Точка M (середина AC):
x=(-1+3)/2=1
y=(2+(-2))/2=0
z=(3+1)/2=2

M(1;0;2)

Точка N (середина BC):
x=(1+3)/2=2
y=(0+(-2))/2=-1
z=(4+1)/2=5/2

N(2;-1;5/2)

MN² = (2-1)²+(-1-0)²+((5/2)-2) = 1+1+1/4 = 9/4 = (3/2)²
|MN| = 3/2

ответ, разумеется, такой же: длина MN равна 1,5.

31

Пошаговое объяснение:

Пусть всего было х деревьев. Тогда  

1) х = 5n₁ + а, где n₁ - число рядов, в которых было по 5 деревьев и а - остаток, т.е. число деревьев в неполном ряду.

При делении числа на 5 всегда  а < 5, т.е.

а может принимать значения а = 1, 2 , 3 ,4.

2) При посадке по 8 деревьев в ряд:

х = 8n₂ + b  

При делении на 8 остаток b < 8, и значит, b может принимать значения:

b = 1, 2 ,3,4,5,6,7

3) По условию b - а = 6, это возможно (при заданных а и b) только, если:

b = 7, а = 1

Следовательно, в 1-ом случае остаток а = 1, во втором b = 7.

4) Общее число деревьев, по условию, < 50.

Найдём числа < 50, которые при делении на 8 дают остаток 7:

8 * 1 + 7 = 15

8 * 2 + 7 = 25

8 * 3 +7 = 31

8 * 4 + 7 = 39

8 * 5 + 7 = 47

Из этих чисел делится на 5 с остатком 1 только число 31. (31 = 5 * 6 +1)

Следовательно, всего было 31 саженец.