19. будем называть четырёхзначное число счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. например, счастливым является число 3140. а) существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два счастливых? б) может ли разность двух счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015? в) найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему счастливого четырёхзначного числа.
1) Все 4 цифры в нем разные.
2) a+b = c+d
Составим все суммы пар различных цифр
1=1+0
2=2+0
3=3+0=2+1
4=4+0=1+3
5=5+0=4+1=3+2
6=6+0=5+1=4+2
7=7+0=6+1=5+2=4+3
8=8+0=7+1=6+2=5+3
9=9+0=8+1=7+2=6+3=5+4
10=9+1=8+2=7+3=6+4
11=9+2=8+3=7+4=6+5
12=9+3=8+4=7+5
13=9+4=8+5=7+6
14=9+5=8+6
15=9+6=8+7
16=9+7
17=9+8
а) Существуют, например, от 5032 до 5041.
Два крайних числа, 5032 и 5041 - очень счастливые.
б) Пусть число 1000a+100b+10с+d - большее очень счастливое.
Тогда число 1000a+100b+10с+d - 2015 =
= 1000(a-2)+100b+10(c-1)+(d-5) тоже должно быть очень счастливым.
Система
{ a+b = c+d
{ a-2 + b = c - 1 + d - 5
Подставив 1 уравнение во 2, получаем
-2 = -1 - 5
Это неверно, значит, такой пары чисел нет.
в) Чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все очень счастливые числа, от 3012 до 9687, и разложить их все на множители.
Это долго и трудно.