Пример будет таковым: lim x->-3 (x^3-3x^2+3x-9)(x+3)/(x^2+1)(x+3). На х-3 можно сократить и получить lim x->-3 (x^3-3x^2+3x-9)/(x^2+1)=-72/10=-7,2..
ответ: -7,2.
Пошаговое объяснение:
a)lim x->oo (x^2+3x-4)/x^5=lim x->oo (1/x^3+3/x^4-4/x^5)/1 -- мы разделили числитель и знаменатель на x со старшей(с самой большой) степенью. В данном случае на x^5. Теперь мысленно подставим оо под х и получим: 0+0-0=0(1/x^3=3/x^4=4/x^5=0, так как с увеличением х число уменьшается. А значит, стремится к нулю.)
ответ: 0.
Аналогично выполним всё первое задание:
б)lim x->oo (x^5+2x-3)/(4x^3-8)=lim x->oo (1+2/x^4-3/x^5)/(4/x^2-8/x^5) -- и снова делим на старшую(на пятую в данном случае) степень. Далее всё по аналогии: (1+0-0)/(0-0)=1/0=оо(0 под очень маленьким числом подразумевается. И чем меньше оно, тем больше ответ будет, поэтому оо.)
a)lim x->-2 (2x^2-3x+5)/(x^2-x+2)=19/8(а в этом задании просто подставить под х нужно число, к которому стремится, и посчитать. Но если при подстановке ответ окажется 0/0, оо/оо или -оо/-оо(оно же оо/оо)(неопределённость то есть), то тогда нужно уже будет преобразовывать дробь(числитель, знаменатель, и то, и другое, -- зависит от самого примера). Именно это и будет в следующем примере(я заранее на черновике решил, а теперь переписываю с подробным решением).
ответ: 19/8.
б)lim x->3 (x^2+x-12)/x-3=[0/0] -- пошло-поехало; неопределённость, о которой я выше указал. Здесь лучше разложить на множители числитель, чтобы потом сократить со знаменателем. А для этого надо приравнять числитель к нулю, затем найти корни уравнения(x1 и x2) и коэффициент при первом члене умножить на (x-x1)(x-x2).
x^2+x-12=0;
Ищем дискриминант -- это путь к нахождению корней уравнения:
D=b^2-4ac, где а=1(коэффициент при x^2, b=1(коэффициент при х), c=-12(свободный член. Стоит перед знаком "=").
D=1+48=49;
x1=(-b+корень квадратный из(D))/2a=(-1+7)/2=3;
x2=(-b-корень квадратный из (D))/2a=(-1-7)/2=-4.
Отсюда следует, что x^2+x-12=(x-3)(x+4).
Пример примет вид: lim x->3 ((x-3)(x-4))/(x-3). Сократим на x-3: lim x->3 x+4=3+4=7.
ответ: 7.
в)lim x->-7 (49-x^2)/(x-7)=0/(-14)=0 -- объяснять тут нечего)))
ответ: 0.
г)lim x->-3 (x^4-6x^2-27)/(x^3+3x^2+x+3)=[0/0] -- тоже неопределённость, но тут всё гораздо сложнее. Раз получили неопределённость, то знаем, что -3 является корнями уравнений x^4-6x^2-27=0 и x^3+3x^2+x+3=0. Теперь надо оба уравнения разделить на х+противоположный корень, то есть на (х+3). Обычно это делают в столбик, но я попробую на экране. Извините, но это очень тяжело будет объяснить. Я сам только в году понял, как делить, а рассказать могу либо по "Скайпу", либо же находясь рядом.
Пример будет таковым: lim x->-3 (x^3-3x^2+3x-9)(x+3)/(x^2+1)(x+3). На х-3 можно сократить и получить lim x->-3 (x^3-3x^2+3x-9)/(x^2+1)=-72/10=-7,2..
ответ: -7,2.
Пошаговое объяснение:
a)lim x->oo (x^2+3x-4)/x^5=lim x->oo (1/x^3+3/x^4-4/x^5)/1 -- мы разделили числитель и знаменатель на x со старшей(с самой большой) степенью. В данном случае на x^5. Теперь мысленно подставим оо под х и получим: 0+0-0=0(1/x^3=3/x^4=4/x^5=0, так как с увеличением х число уменьшается. А значит, стремится к нулю.)
ответ: 0.
Аналогично выполним всё первое задание:
б)lim x->oo (x^5+2x-3)/(4x^3-8)=lim x->oo (1+2/x^4-3/x^5)/(4/x^2-8/x^5) -- и снова делим на старшую(на пятую в данном случае) степень. Далее всё по аналогии: (1+0-0)/(0-0)=1/0=оо(0 под очень маленьким числом подразумевается. И чем меньше оно, тем больше ответ будет, поэтому оо.)
ответ: оо.
Далее всё то же самое; нет смысла объяснять.
в)lim n->oo (3-4n+2n^5)/(2n^2+n-n^4)=lim n->oo (3/n^5-4/n^4+2)/(2/n^5+1/n^4-1/n)=(0-0+2)/(0+0-0)=2/0=oo.
ответ: оо.
г)lim n->oo (n^3+20n-4)/(16n+13)=lim n->oo (1+20/n^2-4/n^3)/(16/n^2+13/n^3)=(1+0-0)/(0+0)=1/0=oo.
ответ: оо.
N2
a)lim x->-2 (2x^2-3x+5)/(x^2-x+2)=19/8(а в этом задании просто подставить под х нужно число, к которому стремится, и посчитать. Но если при подстановке ответ окажется 0/0, оо/оо или -оо/-оо(оно же оо/оо)(неопределённость то есть), то тогда нужно уже будет преобразовывать дробь(числитель, знаменатель, и то, и другое, -- зависит от самого примера). Именно это и будет в следующем примере(я заранее на черновике решил, а теперь переписываю с подробным решением).
ответ: 19/8.
б)lim x->3 (x^2+x-12)/x-3=[0/0] -- пошло-поехало; неопределённость, о которой я выше указал. Здесь лучше разложить на множители числитель, чтобы потом сократить со знаменателем. А для этого надо приравнять числитель к нулю, затем найти корни уравнения(x1 и x2) и коэффициент при первом члене умножить на (x-x1)(x-x2).
x^2+x-12=0;
Ищем дискриминант -- это путь к нахождению корней уравнения:
D=b^2-4ac, где а=1(коэффициент при x^2, b=1(коэффициент при х), c=-12(свободный член. Стоит перед знаком "=").
D=1+48=49;
x1=(-b+корень квадратный из(D))/2a=(-1+7)/2=3;
x2=(-b-корень квадратный из (D))/2a=(-1-7)/2=-4.
Отсюда следует, что x^2+x-12=(x-3)(x+4).
Пример примет вид: lim x->3 ((x-3)(x-4))/(x-3). Сократим на x-3: lim x->3 x+4=3+4=7.
ответ: 7.
в)lim x->-7 (49-x^2)/(x-7)=0/(-14)=0 -- объяснять тут нечего)))
ответ: 0.
г)lim x->-3 (x^4-6x^2-27)/(x^3+3x^2+x+3)=[0/0] -- тоже неопределённость, но тут всё гораздо сложнее. Раз получили неопределённость, то знаем, что -3 является корнями уравнений x^4-6x^2-27=0 и x^3+3x^2+x+3=0. Теперь надо оба уравнения разделить на х+противоположный корень, то есть на (х+3). Обычно это делают в столбик, но я попробую на экране. Извините, но это очень тяжело будет объяснить. Я сам только в году понял, как делить, а рассказать могу либо по "Скайпу", либо же находясь рядом.
(x^4-6x^2-27)/(x+3)
- x^3-3x^2+3x-9
(x^4+3x^3)
-3x^3-6x^2-27
-
(-3x^3-9x^2)
3x^2-27
-
(3x^2+9x)
-9x-27
-
(-9x-27)
0
(х^3+3x^2+x+3)/(x+3)
- x^2+1
(x^3+3x^2)
(x+3)
-
(x+3)
0
а) 125 | 5 120 | 2
25 | 5 60 | 2
5 | 5 30 | 2
1 15 | 3
125 = 5³ 5 | 5
1
120 = 2³ · 3 · 5
НОД (125 и 120) = 5 - наибольший общий делитель
НОК (125 и 120) = 2³ · 3 · 5³ = 3000 - наименьшее общее кратное
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
б) 192 : 96 = 2 - число 192 кратно 96, поэтому
НОД (96 и 192) = 96 - наибольший общий делитель
НОК (96 и 192) = 192 - наименьшее общее кратное
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
в) 108 : 36 = 3 - число 108 кратно 36, поэтому
НОД (36 и 108) = 36 - наибольший общий делитель
НОК (36 и 108) = 108 - наименьшее общее кратное
Можно проверить путём разложения на простые множители
36 | 2 108 | 2
18 | 2 54 | 2
9 | 3 27 | 3
3 | 3 9 | 3
1 3 | 3
36 = 2² · 3² 1
108 = 2² · 3³
НОД (36 и 108) = 2² · 3² = 36 - наибольший общий делитель
НОК (36 и 108) = 2² · 3³ = 108 - наименьшее общее кратное
Пошаговое объяснение: