А) Сечение призмы плоскостью гамма представляет собой равнобедренную трапецию. Так как плоскость гамма параллельна прямой АС, то линии пересечения этой плоскостью оснований призмы параллельны между собой. Пусть это будут отрезки L1L и KK1. Так как основания призмы - правильные треугольники, то отсекаемые плоскостью гамма треугольники тоже правильные и имеют стороны по 1 и по 3 (на основании задания).
Рассечём призму плоскостью, проходящей через ребро АА1 перпендикулярно стороне АС. Эта плоскость проходит через высоты оснований призмы и через ось трапеции В2К2 в сечении гамма . В этой плоскости лежит заданная прямая ВМ, которая пересекает ось трапеции В2К2 в точке О.
Определим тангенсы углов наклона прямых ВМ и В2К2 к основанию призмы. Высота основания ВМ1 равна 6*cos30° = 6*(√3/2) =3√3. tg(BM)=3/(3√3) =1/√3. Проекция В2К2 на основание равна (3√3/2) - (√3/2) = √3. tg(В2К2) = 3/√3 = √3. То есть углы составляют 30 и 60 градусов. Отсюда вывод - прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма.
б) Высота трапеции h в сечении гамма равна: h = √(3²+(√3)²) = √(9+3) = √12 = 2√3. Площадь трапеции So = ((1+3)/2)*(2√3) = 4√3. Высота заданной пирамиды H - это отрезок МО, равный ВМ - ВО. ВМ = √(3²+(3√3)²) = √(9+27) = √36 = 6. ВО = ВК2*cos30° = (3√3/2)*(√3/2) = 9/4. H = 6 - (9/4) = 15/4.
Объём заданной пирамиды равен: V = (1/3)So*H = (1/3)*(4√3)*(15/4) = 5√3.
2x=+-arccos(√3/2)+2πn, n∈Z
2x=+- π/6+2πn, n∈Z
x=+-π/12+πn, n∈Z
2) (√2x-1)²=(x-2)², x-2≥0
2x-1=x²-4x+4
x²-6x+5=0
D/4=9-5=4, √4=2
x₁=3+2=5, x₂=3-2=1
x₂=1 - не удовлетворяет -(x-2)≥0
ответ: х=5
3) (√2х+1)²=(х-1)², х-1≥0
2х+1=х²-2х+1
х²-4х=0, х(х-4)=0
х₁=0, х=4
х₁=0 не удовлетворяет условию х-1≥0
ответ: х=4
4) (√3х+1)²=(х-3)², х-3≥0
3х+1=х²-6х+9
х²-9х+8=0
D=81-32=49, √49=7
x₁=(9+7)/4=4
x₂=(9-7)/4=0.5, не удовлетворяет условию
ответ: х=4
5) (√х+1)²=(1-х)², 1-х≥0
х+1=1-2х+х²
х²-3х=0, х(х-3)=0
х₁=0, х₂=3- не удовлетворяет условию
ответ: х=0
Так как плоскость гамма параллельна прямой АС, то линии пересечения этой плоскостью оснований призмы параллельны между собой. Пусть это будут отрезки L1L и KK1.
Так как основания призмы - правильные треугольники, то отсекаемые плоскостью гамма треугольники тоже правильные и имеют стороны по 1 и по 3 (на основании задания).
Рассечём призму плоскостью, проходящей через ребро АА1 перпендикулярно стороне АС.
Эта плоскость проходит через высоты оснований призмы и через ось трапеции В2К2 в сечении гамма .
В этой плоскости лежит заданная прямая ВМ, которая пересекает ось трапеции В2К2 в точке О.
Определим тангенсы углов наклона прямых ВМ и В2К2 к основанию призмы.
Высота основания ВМ1 равна 6*cos30° = 6*(√3/2) =3√3.
tg(BM)=3/(3√3) =1/√3.
Проекция В2К2 на основание равна (3√3/2) - (√3/2) = √3.
tg(В2К2) = 3/√3 = √3.
То есть углы составляют 30 и 60 градусов.
Отсюда вывод - прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма.
б) Высота трапеции h в сечении гамма равна:
h = √(3²+(√3)²) = √(9+3) = √12 = 2√3.
Площадь трапеции So = ((1+3)/2)*(2√3) = 4√3.
Высота заданной пирамиды H - это отрезок МО, равный ВМ - ВО.
ВМ = √(3²+(3√3)²) = √(9+27) = √36 = 6.
ВО = ВК2*cos30° = (3√3/2)*(√3/2) = 9/4.
H = 6 - (9/4) = 15/4.
Объём заданной пирамиды равен:
V = (1/3)So*H = (1/3)*(4√3)*(15/4) = 5√3.