5. Відносно кожної критичної точки визначити чи є вона точкою максимума, мінімума або не є точкою екстремума
Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції додатна, а справа від неї від’ємна, то дана точка є точкою максимуму функції.Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції від’ємна, а справа від неї додатна, то дана точка є точкою мінімуму функції.
на интервале (-∞; -1) функция убывает
на интервале (-1; +∞) функция возрастает
точка x = (-1) - точка минимума.
Пошаговое объяснение:
y= x⁴ + 4x - 62
Первая производная
y' = 4x³ + 4 = 4(х³+1)
х³+1 = 0
х ³ = -1
х = -1 это критичесая точка.
Монотонность.
Рассмотрим знаки первой производной на интервалах.
(-∞; -1) f'(-2) = -28 < 0, значит функция убывает
(-1; +∞) f'(0) = 4 > 0, значит функция возрастает
Экстремумы.
В окрестности точки x = (-1) первая производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, точка x = (-1) - точка минимума.
Функція спадає, якщо х∈(-∞;-1].
Функція зростає, якщо х∈[-1;+∞).
Xmin=-1, Ymin=-65
Пошаговое объяснение:
y=x⁴+4x-62
1. Знайдемо область визначення функції і інтервали на яких функція неперервна
Обл. визначення: R
Функція неперервна для х∈R
2. Знайдемо похідну функції
у' = 4x³+4
3. Знайдемо критичні точки (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує)
у' =0
4x³+4=0
4x³=-4
x³=-1
х=-1
у' =0 якщо х=-1
х=-1 - критична точка
4. У кожному інтервалі, на які область визначення функції розбивається критичними точками, визначаємо знак похідної і характер зміни функції
Перевіримо знак похідної, для цього підставимо точки з інтервалів у рівняння похідної.
Два інтервала:
(-∞;-1]: у' (-2) = 4*(-2)³+4=-32+4=-28, у' <0 ⇒ функція спадає.
[-1;+∞): у' (0) = 4*(0)³+4= 0+4= 4 у' >0 ⇒ функція зростає.
5. Відносно кожної критичної точки визначити чи є вона точкою максимума, мінімума або не є точкою екстремума
Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції додатна, а справа від неї від’ємна, то дана точка є точкою максимуму функції.Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції від’ємна, а справа від неї додатна, то дана точка є точкою мінімуму функції.⇒ х=-1 точка мінімума
у(-1)=(-1)⁴+4(-1)-62=1-4-62=-65
Функція спадає, якщо х∈(-∞;-1].
Функція зростає, якщо х∈[-1;+∞).
Xmin=-1, Ymin=-65