здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
циклы фортепианных пьес  в 1827 г. были написаны циклы фортепьянных пьес музыкальные моменты и экспромты. эти пьесы установили новые вехи в развитии мировой фортепьянной музыки; ими шуберт проложил путь следующему поколению композиторов. новый стиль - стиль романтической фортепьянной миниатюры - был найден и утвержден шубертом в его "экспромтах" и "музыкальных моментах". эти небольшие по размеру, но необъятные по эмоционально-художественному содержанию пьесы выражают, по меткому определению в. конен, "один миг извечно меняющегося, эмоционально насыщенного внутреннего мира художника. настроения одного "момента" простираются от безмятежной лирики до бурных драматических взрывов. своей яркой и неистощимой мелодичностью, колористическим пианизмом, богатством лирического настроения и внутренним драматизмом эти пьесы воплощают уже чисто фортепьянными средствами поэтический мир шубертовской песни". здесь в малом выражено великое, в быстротечной миниатюре – непреходящее и немеркнущее, то, что будет составлять сердцевину искусства извечно, - душевный мир человека. тихо-тихо звучит мелодия, обаятельная, задумчивая. она широка и спокойна. и настолько сердечна, что сразу завладевает слушателем. когда человеку хорошо, когда он доволен сделанным и размышляет о том, что ему предстоит сделать, его мысли и чувства воплощаются в музыке. точно в такой вот, как эта, - доброй, мечтательной, ясной, словно предзакатный час тихого летнего дня. так начинается фортепьянный экспромт ля-бемоль-мажор. его главная тема пронизана песенностью, той самой, которую так любил шуберт и о которой писал: "меня уверяли, что клавиши под моими пальцами начинали петь, а это, если оно верно, меня весьма радует". это песнь без слов, пропетая роялем и выразившая столько мыслей и чувств, сколько порой не под силу выразить слову. мелодия мужает, крепнет. в ней зреет сила. настойчивая, несломимая. когда ее возрастание достигает кульминации, вновь является начальный напев, безмятежный и углубленно-. и вдруг певучее спокойствие сменяется волнением. бурные, колышущиеся фигурации переносят слушателя в совсем иной мир - мир взволнованных мечтаний и взбудораженных чувств. в неудержном порыве набегают друг на друга звуки, мчатся, несутся, бурлят. в этих то вздымающихся, то валах - и треволнения чувств и беспокойное биение мысли. но волны улеглись. так же внезапно, как поднялись. и опять звучит тихая и умиротворенная песня - мелодия, открывавшая экспромт и так резко контрастирующая с его средним эпизодом. или вот другой экспромт - ми-бемоль-мажорный. его начало не медленное и не певучее, как в первом экспромте. напротив, оно подвижно. с ошеломительной проворностью проносятся легкие и воздушные гаммообразные пассажи. по всей клавиатуре. сверху вниз. и снизу вверх. они как бисер, рассыпаемый щедрой рукой. сверкающий и блестящий. как луч солнца, быстрый и неуловимый, но постоянный, если уж он пришел. весь - движение, и весь - покой. а следом за легкокрылыми пассажами приходит тема второй, средней части. она тоже быстра. но если пассажи при всей их стремительности были овеяны покоем, то эта тема пронизана неугомонностью. она рвется вперед. юная, решительная и неудержимая. поразительно, как схвачен и запечатлен в звуках мгновенно меняющийся лик быстротекущей жизни. в свое время гете устами фауста высказал сладкую, но призрачную мечту человечества: - остановись, мгновенье! прекрасно ты, постой! эту призрачную химеру шуберту удалось обратить в явь. в музыке, музыкой и средствами музыки.
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0
^A ≈ 530
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.50
Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72
^NKA≈ 1800 - 720 = 1080
^ANK ≈ 1800 - (1080 + 26.50) ≈ 45.50
tg(45.50) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y - y0 = k(x - x0)
y - 1 = 1(x - 2)
или
y = x -1