Для нахождения экстремумов найдем производную функции и приравняем ее нулю: y`(x) = 6x^2 + 12x = 0 6x(x+2) = 0, тогда x1 = 0, x2 = -2 - критические точки. Найдем вторую производную: y``(x) = 12x + 12 y``(0) = 12 - локальный минимум. y``(-2) = -24 + 12 = -12 - локальный максимум. Точки делят числовую прямую на 3 интервала: 1) (-беск;-2) 2)(-2;0) 3)(0;+беск) Определим интервалы монотонности, подставив значения интервалов в первую производную и определим ее знак: 1)+ 2)- 3)+
б) Необходимое условие перегиба - вторая производная равна 0 или не существует: 12x + 12 = 0 x = -1 Достаточное условие: вторая производная при переходе через точку меняет знак: очевидно, что когда х < -1, то знак отрицательный, а при x > -1 - положительный. х = -1 - точка перегиба. На интервале (-беск;-1) 2 производная < 0, т.е. функция на нем выпуклая, а на интервале (-1;беск) 2 производная > 0, функция вогнутая.
y`(x) = 6x^2 + 12x = 0
6x(x+2) = 0, тогда x1 = 0, x2 = -2 - критические точки.
Найдем вторую производную:
y``(x) = 12x + 12
y``(0) = 12 - локальный минимум.
y``(-2) = -24 + 12 = -12 - локальный максимум.
Точки делят числовую прямую на 3 интервала:
1) (-беск;-2)
2)(-2;0)
3)(0;+беск)
Определим интервалы монотонности, подставив значения интервалов в первую производную и определим ее знак:
1)+
2)-
3)+
б)
Необходимое условие перегиба - вторая производная равна 0 или не существует:
12x + 12 = 0
x = -1
Достаточное условие: вторая производная при переходе через точку меняет знак: очевидно, что когда х < -1, то знак отрицательный, а при x > -1 - положительный.
х = -1 - точка перегиба.
На интервале (-беск;-1) 2 производная < 0, т.е. функция на нем выпуклая, а на интервале (-1;беск) 2 производная > 0, функция вогнутая.