3) Задачи для самостоятельного решения (в классе и дома). 1). Сколькими различными могут сесть на скамейку
а) 5 человек,
6)7человек
2. Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить,
используя красный, синий
белый цвета?
3). Сколькими можно расставить по этапам четырех участниц эстафеты в беге 4 x 100 м?
4). Составьте всевозможные трёхзначные числа, в которых все цифры разные, используя лишь цифры:
a) 7, 5, 1; 6) 2, 0, 9.
5). Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, если каждая цифра может
использоваться только один раз?
6). Учащиеся должны посетить во вторник по расписанию 5 уроков по следующим предметам:
литература, алгебра, география, физкультура и биология. Сколькими можно составить
расписание на этот день, чтобы физкультура была пятым уроком?
7). Из цифр 2, 3, 4, 7 составлены всевозможные четырёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько
среди этих чисел таких, которые
а) начинаются с цифры 7;
б) не начинаются с цифры 4?
8). Из цифр 1, 2, 3, 5, 6 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько
среди этих чисел таких, которые
а) кратны 4:
б) кратны 5?
9). В автомашине 5 мест. Сколькими в этой автомашине могут разместиться 5 человек, если
место водителя могут занять только двое из них?
10). Чтобы открыть сейф, нужно набрать шифр, содержащий определённую последовательность из цифр
1, 2, 3, 4, 5, 6, и другой шифр, содержащий последовательность из букв a, b, c, d, в которых буквы и
цифры не повторяются. Сколько существует комбинаций, при которых сейф НЕ открывается?
11). Сколькими можно расставить на полке четыре книги по алгебре и три по геометрии,
причём так, чтобы все книги по алгебре (в любом порядке) стояли рядом?
12). Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 6, не повторяя цифр.
13). Число а = nl + 1, где те, является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее
значение а, если
а) а- двузначное число;
б) а – трёхзначное число.
14). Решите уравнение:
а) х! = 5040; б) х! + (х – 1)! = 5760.
у - производительность второго
1 - все поле
1/х часов - вспашет первый все поле
1/у часов - вспашет второй
6х+8х+8у=1
1/у-1/х=3 (умножим на ху)
14х+8у=1 (разделим на 14)
х-у=3ху
х+4/7у=1/14
х-у=3ху
х=1/14-4/7у (из первого) подставим во второе
(1/14-4/7у)-у=3у(1/14-4/7у)
1/14-11/7у=3/14у-12/7у^2 (умножим на 14)
1-22у=3у-24у^2
24у^2-25у+1=0
D=25*25-4*24=625-96=529 Корень из D=23
у(1)=(25-23):2*24=2:48=1/24 (часть поля за 1 час)
у(2)=(25+23):48=48:48=1 (не подходит по условию)
х=1/14-4/7*1/24=1/14-1/42=3/42-1/42=2/42=1/21 (часть поля за 1 час)
1:1/24=24 (ч) надо второму для вспашки всего поля
1:1/21=21 (ч) надо первому для вспашки всего поля
ответ: первый тракторист вспашет все поле за 21 час, а второй за 24 часа
x^2-x-1=0; x_1=(1-√5)/2; x_2=(1+√5)/2.
С первым корнем все в порядке, потому что cos (x_1)>0 (x_1 очевидно принадлежит 4-й четверти).
Разберемся с x_2, который опасно близок к π/2. Для упрощения выкладки рассмотрим 2x_2=1+√5; докажем, что это число больше, чем число 3,2, которое, в свою очередь больше π=3,14159...
Делается это так:
1+√5 сравниваем с 3,2;
между ними такой же знак, что и между
√5 и 2,2 (если можно пользоваться тем, что √5=2,2..., то есть √5>2,2, на этом рассуждение заканчивается, если нельзя - возводим в квадрат √5 и 2,2; знак между ними при этом снова не изменится);
5 и 4,84.
поскольку 5>4,84⇒1+√5>π⇒x_2>π/2.
То, что x_2<π (а нам достаточно было бы даже <3π/2) очевидно⇒
cos(x_2)<0⇒x_2 отбрасываем.
ответ: (1-√5)/2
2. Уравнение вида √u=v равносильно системе u=v^2; v≥0
(условие u≥0 при решении такого уравнения проверять не обязательно, так как его выполнение следует из написанной системы; впрочем, вольному воля, можете проверять и u≥0, хуже не будет (если, конечно, при решении этого неравенства Вы не допустите ошибку).
У нас: 2x+2=(1-x)^2; 1-x≥0;
2x+2=1-2x+x^2; x≤1;
x^2-4x-1=0; x≤1
x_1=2-√5<1; x_2=2+√5>1
ответ: 2-√5