Пусть 1+2+3+4+5+6+7+8+9=а. Смотрим однозначные числа, сумма их цифр равна а. Смотрим числа от 10 до 19, сумма их цифр равна 1*10+а (потому что единица повторяется 10 раз в разряде десятков, а другие цифры меняются). Аналогично от 20 до 29 будет 2*10+а, от 30 до 39 - 3*10+а и так далее, значит, всего у нас получится:
а+1*10+а+2*10+а+3*10+а+4*10+а+5*10+а+6*10+а+7*10+а+8*10+а+9*10+а+1 (последняя единица взята от сотни) = 10а+10*а (если вынести 10 за скобки, то получится 1+2+3+...+9) +1 = 20а+1.
Теперь найдём значение а. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, искомая сумма равна 20*45+1=901
Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени. В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город p и прибыл туда в 13.00 того же дня по p-скому времени. Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени. Сколько времени самолет находился в воздухе? ответ обязательно должен быть обоснован.
Решение:
Самолет отсутствовал в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00, при этом он находился на земле всего 7 часов с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе N и с 13.00 до 15.00 местного времени в городе p. Следовательно, все остальное время он летел.
У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,, 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться?
Решение:
ответ. Да.
1. Петя может просто повторять ходы Васи. В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг и немедленно проиграет.
2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями. В конце игры Вася выложит все гири, а Петя все, кроме 50-килограммовой. Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.
В треугольнике ABC ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что ∠ ADC = 2 ∠ C. Доказать, что AB + AD = BC.
Решение:
Продолжим отрезок BA за точку A и отложим на нем отрезок AE = AD. Заметим, что ∠ EAC = 180 – ∠ BAC = 180 – 3 ∠ C, поэтому треугольники ADC и AEC равны (по сторонам AC, AD = AE и углу между ними). Отсюда находим углы треугольника AEC: ∠ AEC = ∠ ADC = 2 ∠ C, ∠ ACE = ∠ C, т.е. ∠ BCE = 2 ∠ C, поэтому треугольник BEC равнобедренный. Таким образом, AB + AD = AB + AE = BE = BC.
а+1*10+а+2*10+а+3*10+а+4*10+а+5*10+а+6*10+а+7*10+а+8*10+а+9*10+а+1 (последняя единица взята от сотни) = 10а+10*а (если вынести 10 за скобки, то получится 1+2+3+...+9) +1 = 20а+1.
Теперь найдём значение а. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, искомая сумма равна 20*45+1=901
ответ: 901
В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город p и прибыл туда в 13.00 того же дня по p-скому времени.
Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени.
Сколько времени самолет находился в воздухе?
ответ обязательно должен быть обоснован.
Решение:
Самолет отсутствовал в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00,
при этом он находился на земле всего 7 часов с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе N
и с 13.00 до 15.00 местного времени в городе p.
Следовательно, все остальное время он летел.
У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2,, 55 кг.
Они по очереди подкладывают свои гири каждый на свою чашу двухчашечных весов.
Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг.
Сможет ли он этого добиться?
Решение:
ответ. Да.
1. Петя может просто повторять ходы Васи.
В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг и немедленно проиграет.
2. Петя откладывает в сторону свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями.
В конце игры Вася выложит все гири, а Петя все, кроме 50-килограммовой.
Следовательно, чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.
В треугольнике ABC ∠ A = 3 ∠ C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что ∠ ADC = 2 ∠ C.
Доказать, что AB + AD = BC.
Решение:
Продолжим отрезок BA за точку A и отложим на нем отрезок AE = AD.
Заметим, что ∠ EAC = 180 – ∠ BAC = 180 – 3 ∠ C, поэтому треугольники ADC и AEC равны
(по сторонам AC, AD = AE и углу между ними).
Отсюда находим углы треугольника AEC: ∠ AEC = ∠ ADC = 2 ∠ C, ∠ ACE = ∠ C, т.е. ∠ BCE = 2 ∠ C, поэтому треугольник BEC равнобедренный.
Таким образом, AB + AD = AB + AE = BE = BC.