4. В денежной лотерее разыгрывается: два выигрша по 100 000 руб., шесть выигрышей — по 50 000 руб., десять выигрышей - по 10 000 руб. Общее число билетов -100. Найти математическое ожидание выигрыша при покупке одного билета.
Удобнее решать задачу с конца. Осталась одна конфета. В конце Маша взяла полконфеты (1+0.5 = 1.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (1.5*2 = 3) Перед Машей, полконфеты взял Коля (3 + 0.5 = 3.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (3.5*2 = 7). Перед Колей, полконфеты взяла Аня (7 + 0.5 = 7.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (7.5*2 = 15). Перед Аней, полконфеты взял Федя (15 + 0.5 = 15.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (15.5*2 = 31). Стало быть, была 31 конфета. Проверяем решение: 31/2 = 15.5 15.5 - 0.5 = 15 15/2 = 7.5 75 - 0.5 = 7 7/2 = 3.5 3.5 - 0.5 = 3 3/2 = 1.5 1.5 - 0.5 = 1 Осталась 1 конфета, как и должно быть
Рассмотрим два случая: 1) n - четное число; 2) n - нечетное число
1) n - четное => n=2k, где k - натуральное число
74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k) Степень первого слагаемого четно при любом значении k Степени второго слагаемого нечетно при любом значении k Степень третьего слагаемого четно при любом значении k
Так как нас интересует последняя цифра, то будем рассматривать степени числа 4
4^1=4 4^2=16 4^3=64 4^4=256 4^5=1024 4^6=4096
Видим закономерность, что каждую четную степень на конце мы имеем цифру 6 и что каждую нечетную степень на конце мы имеем цифру 4
Следовательно в выражении 74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k) первое слагаемое заканчивается на 6, второе слагаемое заканчивается на 4 и третье слагаемое заканчивается на 6. 6+4+6=16 - последняя цифра 6 => последняя цифра в выражении 74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k) будет 6 при любом значении k
2) n - нечетное => n=2k-1, где k - натуральное число
74^(2k-1)+74^(2k)+74^(4k-2)
Степень первого слагаемого нечетно при любом значении k Степени второго слагаемого четно при любом значении k Степень третьего слагаемого четно при любом значении k
Аналогичными рассуждениями, мы приходим к тому, что первое слагаемое заканчивается на 4, второе слагаемое заканчивается на 6 и третье слагаемое заканчивается на 6. 4+6+6=16 => последняя цифра в выражении 74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k) будет 6 при любом значении k
=> 74^n + 74^(n+1) + 74^(2n) будет иметь на конце 6 при любом значении n.
Осталась одна конфета. В конце Маша взяла полконфеты (1+0.5 = 1.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (1.5*2 = 3)
Перед Машей, полконфеты взял Коля (3 + 0.5 = 3.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (3.5*2 = 7).
Перед Колей, полконфеты взяла Аня (7 + 0.5 = 7.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (7.5*2 = 15).
Перед Аней, полконфеты взял Федя (15 + 0.5 = 15.5), а перед этим - половину всех конфет, которые были (15.5*2 = 31).
Стало быть, была 31 конфета.
Проверяем решение:
31/2 = 15.5
15.5 - 0.5 = 15
15/2 = 7.5
75 - 0.5 = 7
7/2 = 3.5
3.5 - 0.5 = 3
3/2 = 1.5
1.5 - 0.5 = 1
Осталась 1 конфета, как и должно быть
Значит, в коробке была 31 конфета.
1) n - четное => n=2k, где k - натуральное число
74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k)
Степень первого слагаемого четно при любом значении k
Степени второго слагаемого нечетно при любом значении k
Степень третьего слагаемого четно при любом значении k
Так как нас интересует последняя цифра, то будем рассматривать степени числа 4
4^1=4
4^2=16
4^3=64
4^4=256
4^5=1024
4^6=4096
Видим закономерность, что каждую четную степень на конце мы имеем цифру 6 и что каждую нечетную степень на конце мы имеем цифру 4
Следовательно в выражении 74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k) первое слагаемое заканчивается на 6, второе слагаемое заканчивается на 4 и третье слагаемое заканчивается на 6. 6+4+6=16 - последняя цифра 6 => последняя цифра в выражении 74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k) будет 6 при любом значении k
2) n - нечетное => n=2k-1, где k - натуральное число
74^(2k-1)+74^(2k)+74^(4k-2)
Степень первого слагаемого нечетно при любом значении k
Степени второго слагаемого четно при любом значении k
Степень третьего слагаемого четно при любом значении k
Аналогичными рассуждениями, мы приходим к тому, что первое слагаемое заканчивается на 4, второе слагаемое заканчивается на 6 и третье слагаемое заканчивается на 6. 4+6+6=16 => последняя цифра в выражении 74^(2k) + 74^(2k+1) + 74^(4k) будет 6 при любом значении k
=> 74^n + 74^(n+1) + 74^(2n) будет иметь на конце 6 при любом значении n.
ответ: 6