456. Вычисли площадь равностороннего треуголь- ника, если дана длина его стороны а, апофема r или радиус R окружности, описанной около треугольника (рис. 116). Найди точный ответ и его приближенное значение с точностью до сотых. 1) а = 8 м
Треугольник ABCABC является остроугольным, так как 62<42+5262<42+52. Отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. Опустим высоту AA1AA1, и пусть она делит отрезок BCBC на части длиной xx и yy. С одной стороны, x+y=5x+y=5. С другой стороны, ввиду теоремы Пифагора, применённой к треугольникам ACA1ACA1 и ABA1ABA1 с общей высотой, 62−x2=AA21=42−y262−x2=AA12=42−y2. Следовательно, x2−y2=20x2−y2=20, то есть x−y=20/5=4x−y=20/5=4, откуда x=9/2x=9/2 и y=1/2y=1/2. Последнее означает, что K=A1K=A1, то есть треугольник ABKABK прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы ABAB.Теперь опустим высоту BB1BB1, и тем же методом найдём CB1=15/4CB1=15/4, B1A=9/4B1A=9/4. Из этого следует, что MB1=15/4−27/8=3/8MB1=15/4−27/8=3/8, что составляет 1/101/10 от CB1CB1. Точно так же, KBKB составляет 1/101/10 от CBCB. Из этого можно сделать вывод, что прямые KMKM и BB1BB1 параллельны, а потому треугольник AKMAKM также прямоугольный. И центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы AKAK.Таким образом, dd есть длина средней линии треугольника ABKABK, откуда d=BK/2=1/4d=BK/2=1/4.
1)если вам известны объем v и высота конуса h, выразите его радиус основания r из формулы v=1/3∙πr²h. получите: r²=3v/πh, откуда r=√(3v/πh). 2)если вам известны площадь боковой поверхности конуса s и длина его образующей l, выразите радиус r из формулы: s=πrl. вы получите r=s/πl. 3)следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси. так, если вам известны высота конуса h и длина его образующей l, то для нахождения радиуса r вы можете воспользоваться теоремой пифагора: l²=r²+h². выразите из данной формулы r, получите: r²=l²–h² и r=√(l²–h²). 4)используйте правила соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. если известны образующая конуса l и угол α между высотой конуса и его образующей, найдите радиус основания r, равный одному из катетов прямоугольного треугольника, по формуле: r=l∙sinα. 5)если известны образующая конуса l и угол β между радиусом основания конуса и его образующей, найдите радиус основания r по формуле: r=l∙cosβ. если известны высота конуса h и угол α между его образующей и радиусом основания, найдите радиус основания r по формуле: r=h∙tgα. 6)пример: образующая конуса l равна 20 см и угол α между образующей и высотой конуса равен 15º. найдите радиус основания конуса. решение: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой l и острым углом α противолежащий этому углу катет r вычисляется по формуле r=l∙sinα. подставьте соответствующие значения, получите: r=l∙sinα=20∙sin15º. sin15º находится из формул тригонометрических функций половинного аргумента и равен 0,5√(2–√3). отсюда катет r=20∙0,5√(2–√3)=10√(2–√3)см. соответственно, радиус основания конуса r равен 10√(2–√3)см. 7)частный случай: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30º, равен половине гипотенузы. таким образом, если известны длина образующей конуса и угол между его образующей и высотой равен 30º, то найдите радиус по формуле: r=1/2l.
