Пусть некая тройка натуральных чисел x, y, z таких, что x<y<z (т.к. числа различны), удовлетворяет условию.
x<z, y<z => x+y<2*z.
Т.к. сумма любых двух чисел тройки делится на третье, 1) x+y делится на z. Тогда x+y=1*z=z. 2) x+z делится на y => 2x+y делится на y => 2x делится на y 3) y+z делится на x => x+2y делится на x => 2y делится на x
Тогда существуют такие натуральные k, l, что 2x=ky, 2y=lx => 4lx=2lky, 8y=4lx => 8y=2lky => 4=lk
k=1 => l=4 => 2x=y => z=3x. Все тройки вида x, 2x, 3x, где x натуральное, подходят (x+2x=3x, x+3x=4x=2*2x, 2x+3x=5x=5*x) (1)
k=2 => l=2 => x=y - противоречие
k=4 => l=1 => 2y=x - случай, аналогичный случаю с точностью до перестановки чисел (1)
Чаще всего методом от противного, не в смысле, фу, какой противный, а в смысле от противоположного. Предполагаем противоположное тому, что хотим доказать и приходим в противоречие с уже известным определением, либо аксиомой, либо теоремой..
Например, докажем, что √2 - иррациональное. т.е. его нельзя представить в виде р/q, где р -целое, а q- натуральное. Дробь р/q- несократимая.
Предположим, √2 - рациональное. тогда. его можно представить в виде р/q, где р -целое, а q- натуральное . возведем в квадрат рациональное число. тогда р² = 2q². Раз так, то р² и р четные. т.е. р=2к; р² = 4к², 4к² = 2q², 2k² = q². Отсюда следует, что q² и q четные. Пришли к противоречию с тем, что дробь р/q несократимая. Значит, то, что мы предполагали, не верно, а верно то, что требовалось доказать. т.е. √2 - иррационально.
(x, 2x, 3x), x∈N с точностью до перестановки
Пошаговое объяснение:
Пусть некая тройка натуральных чисел x, y, z таких, что x<y<z (т.к. числа различны), удовлетворяет условию.
x<z, y<z => x+y<2*z.
Т.к. сумма любых двух чисел тройки делится на третье, 1) x+y делится на z. Тогда x+y=1*z=z. 2) x+z делится на y => 2x+y делится на y => 2x делится на y 3) y+z делится на x => x+2y делится на x => 2y делится на x
Тогда существуют такие натуральные k, l, что 2x=ky, 2y=lx => 4lx=2lky, 8y=4lx => 8y=2lky => 4=lk
k=1 => l=4 => 2x=y => z=3x. Все тройки вида x, 2x, 3x, где x натуральное, подходят (x+2x=3x, x+3x=4x=2*2x, 2x+3x=5x=5*x) (1)
k=2 => l=2 => x=y - противоречие
k=4 => l=1 => 2y=x - случай, аналогичный случаю с точностью до перестановки чисел (1)
Чаще всего методом от противного, не в смысле, фу, какой противный, а в смысле от противоположного. Предполагаем противоположное тому, что хотим доказать и приходим в противоречие с уже известным определением, либо аксиомой, либо теоремой..
Например, докажем, что √2 - иррациональное. т.е. его нельзя представить в виде р/q, где р -целое, а q- натуральное. Дробь р/q- несократимая.
Предположим, √2 - рациональное. тогда. его можно представить в виде р/q, где р -целое, а q- натуральное . возведем в квадрат рациональное число. тогда р² = 2q². Раз так, то р² и р четные. т.е. р=2к; р² = 4к², 4к² = 2q², 2k² = q². Отсюда следует, что q² и q четные. Пришли к противоречию с тем, что дробь р/q несократимая. Значит, то, что мы предполагали, не верно, а верно то, что требовалось доказать. т.е. √2 - иррационально.