интеграл((e^x+2x)dx/(e^x+x^2))=ln(e^x+x^2)
(ln(e^x+x^2))'=1/(e^x+x^2)*(e^x+2x).
Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости необходимо найти
вторую производную. И определить ее знак на интервале.
Если во всех точках интервала вторая производная меньше нуля, кривая выпукла,
если производная больше нуля кривая вогнута.
Пример
y=2-x^2
y''=-2<0 для всех х следовательно кривая обращена выпуклостью вверх.
y=x^3
y''=6x
при x<0 y''<0 кривая выпукла
при x>0 y''>0 кривая вогнута.
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой называется точкой перегиба.
Найдём катеты: а = с·cosα, b = c·sinα.
При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R = c·cosα·sinα
Высота конуса, образующей которого является катет а = с·cosα, равна
h₁ = a·cosα = с·cosα·cosα = c·cos²α
Высота конуса, образующей которого является катет b = c·sinα, равна
h₂ = a·sinα = с·sinα·sinα = c·sin²α
Объём 1-го конуса:
V₁ = 1/3 πR²·h₁ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α
Объём 2-го конуса:
V₂ = 1/3 πR²·h₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α
Объём всего тела вращения:
V = V₁ + V₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α + 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α
= 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·(cos²α + sin²α) = 1/3 ·π·c³·(cosα·sinα)² =
= 1/12 ·π·c³·(4cos²α·sin²α) = 1/12 ·π·c³·sin²2α
интеграл((e^x+2x)dx/(e^x+x^2))=ln(e^x+x^2)
(ln(e^x+x^2))'=1/(e^x+x^2)*(e^x+2x).
Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости необходимо найти
вторую производную. И определить ее знак на интервале.
Если во всех точках интервала вторая производная меньше нуля, кривая выпукла,
если производная больше нуля кривая вогнута.
Пример
y=2-x^2
y''=-2<0 для всех х следовательно кривая обращена выпуклостью вверх.
Пример
y=x^3
y''=6x
при x<0 y''<0 кривая выпукла
при x>0 y''>0 кривая вогнута.
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой называется точкой перегиба.
Найдём катеты: а = с·cosα, b = c·sinα.
При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R = c·cosα·sinα
Высота конуса, образующей которого является катет а = с·cosα, равна
h₁ = a·cosα = с·cosα·cosα = c·cos²α
Высота конуса, образующей которого является катет b = c·sinα, равна
h₂ = a·sinα = с·sinα·sinα = c·sin²α
Объём 1-го конуса:
V₁ = 1/3 πR²·h₁ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α
Объём 2-го конуса:
V₂ = 1/3 πR²·h₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α
Объём всего тела вращения:
V = V₁ + V₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α + 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α
= 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·(cos²α + sin²α) = 1/3 ·π·c³·(cosα·sinα)² =
= 1/12 ·π·c³·(4cos²α·sin²α) = 1/12 ·π·c³·sin²2α