9.1. Аркадий возвёл целое число в квадрат, записал результат па доску, а затем стёр справа 2021 цифру, оставив при этом на доске только одну цифру. Может ли в результате остаться цифра 1? 9.2. Петька и Василий Иванович берут по очереди орехи из мешка. Петька берет один орех, затем Василий Иванович два, Петька три и так далее (каждый следующий берет на один орех больше, чем предыдущий). Последним ходом кто-то из них забирает оставшиеся орехи (если сделать очередной ход певозможно). В итоге Петьке достались 2021 орех. Сколько орехов было всего
мешке?
9.3. Известно, что у квадратного трехчлена х + ах + в есть два целых корня, причем по модулю каждый из них не меньше 2. Определите, будет ли число а - b 1 составным.
9.4. AL и СМ - соответственно, биссектриса и медиана в треугольнике
ABC. Прямая ВН перпендикулярна прямой АС, причем углы HBA, LAC, MCB оказались ранны между собой. Какие значения могут принимать углы треугольника ?
9.5. В углу клетчатой доски 2021 х 2021 стоит фишка. За ход ее можно передвинуть в соседнюк по стороне клетку. Играют двое, ходить в клетку, в которой ранее была фишка нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

20 минут 15 секунд = 1215 секунд

× 6 0                                          + 1 2 0 0

       2 0                                                                      1 5

  1 2 0 0                                                1 2 1 5                  

Квадратным трёхчленом называется многочлен 2-ой степени, то есть выражение вида ax2 + bx + c, где a ≠ 0, b, c - (обычно заданные) действительные числа, называемые его коэффициентами, x - переменная величина.

Обратите внимание: коэффициент a может быть любым действительным числом, кроме нуля. Действительно, если a = 0, то ax2 + bx + c = 0·x2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. В этом случае в выражении не остаётся квадрата, поэтому его нельзя считать квадратным трёхчленом. Однако, такие выражения-двучлены как, например, 3x2 − 2x или x2 + 5 можно рассматривать как квадратные трёхчлены, если дополнить их недостающими одночленами с нулевыми коэффициентами: 3x2 − 2x = 3x2 − 2x + 0 и x2 + 5 = x2 + 0x + 5.

Если стоит задача, определить значения переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает нулевые значения, т.е. ax2 + bx + c = 0, то имеем квадратное уравнение.

Если существуют действительные корни x1 и x2 некоторого квадратного уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные множители: ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Замечание: Если квадратный трёхчлен рассматривать на множестве комплексных чисел С, которое, возможно, вы еще не изучали, то на линейные множители его можно разложить всегда.

Когда стоит другая задача, определить все значения, которые может принимать результат вычисления квадратного трёхчлена при различных значениях переменной х, т.е. определить y из выражения y = ax2 + bx + c, то имеем дело с квадратичной функцией.

При этом корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции.

Квадратный трёхчлен также можно представить в виде



Это представление удобно использовать при построении графика и изучении свойств квадратичной функции действительного переменного.