98 ! заранее !
а). представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. и докажите, что большее произведение получить нельзя.
б). перемножили три тысячи двоек. докажите, что в записи получившегося числа:
не более 1000 цифр и не менее 900 цифр.
а)Пусть
, при этом
; Пусть
, тогда
; Экстремум находится в точке
;
; Поэтому при
достигается максимум, т.е. 100 должно быть представлено в виде 37-ми слагаемых. А, значит, каждое из слагаемых либо 3, либо 2. Значит, искомое произведение есть число вида
.
, поэтому чем больше m, тем лучше (возраст. функция). Стало быть, m=32, а искомый набор:
- 32 тройки и две двойки.
б) Нужно доказать неравенства:![10^{899}\leq 2^{3000}\leq 10^{999}](/tpl/images/0614/9689/1a12a.png)
Покажем справедливость первого:![2^{3000}10^{900} \Leftrightarrow 2^{10}10^{3}\; \checkmark](/tpl/images/0614/9689/2f2d3.png)
Теперь второго:![2^{3000}](/tpl/images/0614/9689/55262.png)