здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
После Пушкина в России был еще один «радостный» поэт – это Афанасий Афанасьевич Фет. В его поэзии нет мотивов гражданской, вольнолюбивой лирики, он не ставил социальных вопросов. Его творчество – мир красоты и счастья. Стихотворения Фета пронизаны мощными потоками энергии счастья и восторга, наполнены восхищением красотой мира и природы. Главным мотивом его лирики была красота. Именно ее он воспевал во всем. В отличие от большинства русских поэтов второй половины XIX века с их протестами и обличениями существующих порядков, Фет считал поэзию «храмом искусства», а себя – жрецом в нем. Позже такой точки зрения придерживались поэты-символисты на рубеже XIX–XX веков. Они считали Фета своим гениальным учителем. Природа, любовь и музыкальное искусство в лирике Фета слиты воедино. Поэт отражает мир чувств, настроений во всем их бесконечном разнообразии. Каждое стихотворение Фета создано как оригинальная мелодия. Композиторы сразу почувствовали это и создали на стихи Фета множество романсов.Таково стихотворение «Фантазия»: Мы одни; из сада в стекла окон Светит месяц… тусклы наши свечи; Твой душистый, твой послушный локон, Развиваясь, падает на плечи. Фет гениально умел изобразить миг, момент чувства, переходы от одного настроения к другому. За это критики-современники называли его стихотворения «бессюжетными». Исследователи XX века уже называли творчество Фета импрессионизмом в русской поэзии за умение автора передавать малейшие оттенки чувств. Лучше всего поэту удавался жанр лирической миниатюры: В этом зеркале под ивой Уловил мой взгляд ревнивый Сердцу милые черты… Мягче взор твой горделивый… Я дрожу, глядя, счастливый, Как в воде дрожишь и ты. Любовная лирика Фета – это океан солнца, счастья и радости. Он боготворит женщину, хочет исполнить любое ее желание, заботлив и нежен по отношению к ней: На заре ты ее не буди, На заре она сладко так спит; Утро дышит у ней на груди, Ярко пышет на ямках ланит. Чувство любви у Фета лишено разрушительной страсти, как у Тютчева. Поэт любуется возлюбленной, наполняющей своим существованием мир красоты и покоя. Лирический герой добр и внимателен, он настоящий защитник от всего злого для любимой. Он основателен, надежен и спокойно счастлив, его любви ничто не угрожает: Рассказать, что с той же страстью, Как вчера, пришел я снова, Что душа все так же счастью И тебе служить готова. Природа у Фета живая и мыслящая: «утро дышит», «лес проснулся», «играла луна» и т. д. Используя прием олицетворения, поэт добивается потрясающего эффекта общения, единения человека с природой: Сад весь в цвету, Вечер в огне, Так освежительно радостно мне! Вот и стою, Вот и иду. Словно таинственной речи я жду. Шедевром лирики Фета является стихотворение «Шепот, робкое дыханье…». Картина пейзажа включает в себя сцену свидания влюбленных. Общение людей и жизнь природы переданы в динамике, хотя в стихотворении нет ни одного глагола. Природа отражает пылкие чувства влюбленных: Шепот, робкое дыханье, Трели соловья, Серебро и колыханье Сонного ручья, Свет ночной, ночные тени, Тени без конца, Ряд волшебных изменений Милого лица, В дымных точках пурпур розы, Отблеск янтаря, И лобзания, и слезы, И заря, заря!.. Следуя своей художественной манере, поэт не показывает развитие отношений молодых людей, а изображает минуты высшего восторга, самые значимые для них. Пейзажные стихотворения Фета обычно полны жизни, звуков и запахов, но иногда ему удается создать величественную картину вечерней природы: Месяц зеркальный плывет по лазурной пустыне, Травы степные унизаны влагой вечерней, Речи отрывистей, сердце опять суеверней, Длинные тени вдали потонули в ложбине. В своей лирике поэт стремился изображать не предметы, а чувства, которые они вызывают. Его новаторство – в умении передать ежесекундную изменчивость мира. Именно поэтому привычные образы превращаются у поэта во что-то новое и необычное, удивляющее читателей. Фет, как никто другой, сумел описать мир прекрасных человеческих чувств, его стихотворения стали классикой русской лирики XIX века.
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0
^A ≈ 530
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.50
Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72
^NKA≈ 1800 - 720 = 1080
^ANK ≈ 1800 - (1080 + 26.50) ≈ 45.50
tg(45.50) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y - y0 = k(x - x0)
y - 1 = 1(x - 2)
или
y = x -1
Мы одни; из сада в стекла окон Светит месяц… тусклы наши свечи; Твой душистый, твой послушный локон, Развиваясь, падает на плечи. Фет гениально умел изобразить миг, момент чувства, переходы от одного настроения к другому. За это критики-современники называли его стихотворения «бессюжетными». Исследователи XX века уже называли творчество Фета импрессионизмом в русской поэзии за умение автора передавать малейшие оттенки чувств. Лучше всего поэту удавался жанр лирической миниатюры:
В этом зеркале под ивой Уловил мой взгляд ревнивый Сердцу милые черты… Мягче взор твой горделивый… Я дрожу, глядя, счастливый, Как в воде дрожишь и ты. Любовная лирика Фета – это океан солнца, счастья и радости. Он боготворит женщину, хочет исполнить любое ее желание, заботлив и нежен по отношению к ней:
На заре ты ее не буди, На заре она сладко так спит; Утро дышит у ней на груди, Ярко пышет на ямках ланит. Чувство любви у Фета лишено разрушительной страсти, как у Тютчева. Поэт любуется возлюбленной, наполняющей своим существованием мир красоты и покоя. Лирический герой добр и внимателен, он настоящий защитник от всего злого для любимой. Он основателен, надежен и спокойно счастлив, его любви ничто не угрожает:
Рассказать, что с той же страстью, Как вчера, пришел я снова, Что душа все так же счастью И тебе служить готова. Природа у Фета живая и мыслящая: «утро дышит», «лес проснулся», «играла луна» и т. д. Используя прием олицетворения, поэт добивается потрясающего эффекта общения, единения человека с природой:
Сад весь в цвету, Вечер в огне, Так освежительно радостно мне! Вот и стою, Вот и иду. Словно таинственной речи я жду. Шедевром лирики Фета является стихотворение «Шепот, робкое дыханье…». Картина пейзажа включает в себя сцену свидания влюбленных. Общение людей и жизнь природы переданы в динамике, хотя в стихотворении нет ни одного глагола. Природа отражает пылкие чувства влюбленных:
Шепот, робкое дыханье, Трели соловья, Серебро и колыханье Сонного ручья, Свет ночной, ночные тени, Тени без конца, Ряд волшебных изменений Милого лица, В дымных точках пурпур розы, Отблеск янтаря, И лобзания, и слезы, И заря, заря!.. Следуя своей художественной манере, поэт не показывает развитие отношений молодых людей, а изображает минуты высшего восторга, самые значимые для них. Пейзажные стихотворения Фета обычно полны жизни, звуков и запахов, но иногда ему удается создать величественную картину вечерней природы:
Месяц зеркальный плывет по лазурной пустыне, Травы степные унизаны влагой вечерней, Речи отрывистей, сердце опять суеверней, Длинные тени вдали потонули в ложбине. В своей лирике поэт стремился изображать не предметы, а чувства, которые они вызывают. Его новаторство – в умении передать ежесекундную изменчивость мира. Именно поэтому привычные образы превращаются у поэта во что-то новое и необычное, удивляющее читателей. Фет, как никто другой, сумел описать мир прекрасных человеческих чувств, его стихотворения стали классикой русской лирики XIX века.