Пусть х - одна часть, тогда так как BN : NC =2 : 3, BN = 2x, NC = 3x, ⇒ BC = 5x.
BN : BC = 2 : 5.
Пусть у - одна часть, тогда так как AM : AB = 3 : 5, АМ = 3у, АВ = 5у, ⇒ ВМ = 2у.
BM : BA = 2 : 5.
Итак, BN : BC = 2 : 5, BM : BA = 2 : 5, угол при вершине В общий для треугольников АВС и MBN, ⇒
АВС и MBN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Значит, ∠BMN = ∠BAC, а эти углы - соответственные при пересечении прямых АС и MN секущей АВ, ⇒
MN ║ AC.
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости:
MN ║ AC, АС ⊂ α, ⇒ MN ║ α.
Так как треугольники АВС и MBN подобны, то
MN : AC = BM : BA = 2 : 5
MN = 2AC / 5 = 2 · 30 / 5 = 12 см
Пусть х - одна часть, тогда так как BN : NC =2 : 3, BN = 2x, NC = 3x, ⇒ BC = 5x.
BN : BC = 2 : 5.
Пусть у - одна часть, тогда так как AM : AB = 3 : 5, АМ = 3у, АВ = 5у, ⇒ ВМ = 2у.
BM : BA = 2 : 5.
Итак, BN : BC = 2 : 5, BM : BA = 2 : 5, угол при вершине В общий для треугольников АВС и MBN, ⇒
АВС и MBN подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Значит, ∠BMN = ∠BAC, а эти углы - соответственные при пересечении прямых АС и MN секущей АВ, ⇒
MN ║ AC.
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости:
MN ║ AC, АС ⊂ α, ⇒ MN ║ α.
Так как треугольники АВС и MBN подобны, то
MN : AC = BM : BA = 2 : 5
MN = 2AC / 5 = 2 · 30 / 5 = 12 см