А) Тәжірибелі велосипедші Алматыдан 100 км қашықтықтағы Асы-Түрген шатқалында орналасқан расытханаға 4 сағатта жетті. Қайтар жолда ол жылдамдығын 5 км/сағ-қа азайтты. Ол қайтар жолға неше уақыт жұмсады?
Тут куча средних линий. теперь надо посмотреть на произвольный Δ, в котором проведена средняя линия. Она отсекает от основного Δ треугольничек, который составляет 1/4 часть от основного . Вот этим и будем пользоваться при решении нашей задачи. Итак вся площадь = 7, SΔАОВ = 4⇒ оставшаяся часть имеет площадь = 3. Эта оставшаяся часть состоит из ΔВОС и ΔАОС. В этих треугольниках есть средние линии MN и КР. S(MNCO) = 3/4S(ΔBOC) S(KOCP) = 3/4S(ΔAOC) 3/4S(ΔBOC)+3/4S(ΔAOC)= 3/4S(оставшейся части)= =3/4·3 = 9/4 S(ΔMOK) = 1/4S(ΔAOB) = 1/4·4 = 1 9/4 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25 ответ: 3,25
Возводить в натуральную степень n, если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число z=a+bi задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.
Пусть число z=|z|(cosϕ+isinϕ), тогда умножая его само на себя n раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень n), получим:
zn=(|z|(cosϕ+isinϕ))n=|z|n(cosnϕ+isinnϕ)
Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.
Если |z|=1, то получаем, что
zn=(cosϕ+isinϕ)n=cosnϕ+isinnϕ
Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).
Пример
Задание. Найти z20, если z=12+3√2i
Решение. Вначале запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:
Итак вся площадь = 7, SΔАОВ = 4⇒ оставшаяся часть имеет площадь = 3. Эта оставшаяся часть состоит из ΔВОС и ΔАОС. В этих треугольниках есть средние линии MN и КР.
S(MNCO) = 3/4S(ΔBOC)
S(KOCP) = 3/4S(ΔAOC)
3/4S(ΔBOC)+3/4S(ΔAOC)= 3/4S(оставшейся части)=
=3/4·3 = 9/4
S(ΔMOK) = 1/4S(ΔAOB) = 1/4·4 = 1
9/4 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25
ответ: 3,25
Возводить в натуральную степень n, если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число z=a+bi задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.
Пусть число z=|z|(cosϕ+isinϕ), тогда умножая его само на себя n раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень n), получим:
zn=(|z|(cosϕ+isinϕ))n=|z|n(cosnϕ+isinnϕ)
Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.
Если |z|=1, то получаем, что
zn=(cosϕ+isinϕ)n=cosnϕ+isinnϕ
Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).
Пример
Задание. Найти z20, если z=12+3√2i
Решение. Вначале запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:
|z|=∣∣12+3√2i∣∣=(12)2+(3√2)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=14+34‾‾‾‾‾‾√=44‾‾√=1
argz=arg(12+3√2i)=arctg3√212=arctg3‾√=π3
Тогда
z=1⋅(cosπ3+isinπ3)=cosπ3+isinπ3
А отсюда, согласно формуле, имеем:
z20=(cosπ3+isinπ3)20=cos(20⋅π3)+isin(20⋅π3)=
=cos20π3+isin20π3=cos21π−π3+isin21π−π3=
=cos(7π−π3)+isin(7π−π3)=cos(π−π3)+isin(π−π3)=
=−cosπ3+isinπ3=−12+i⋅3√2=−12+3√2i
ответ. z20=−12+3√2i
Читать дальше: извлечения корня из комплексного числа.
Слишком сложно?
Возведение комплексного числа в натуральную степень не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Опиши задание
Пошаговое объяснение: