В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
zandaryanartem1
zandaryanartem1
14.06.2022 12:50 •  Математика

Алгебра
Решить уравнение: х+1/3 log5 (x/8) + 3logx 4 =2


АлгебраРешить уравнение: х+1/3 log5 (x/8) + 3logx 4 =2

Показать ответ
Ответ:
seregaushakov13
seregaushakov13
15.08.2021 13:31

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

\dfrac{x+1}{3}\log_5\left(\dfrac{x}{8}\right)+3\log_x4=2, ОДЗ: x\in(0;\;1)\cup(1;\;+\infty).

\dfrac{x+1}{3}\log_5\left(\dfrac{x}{8}\right)+3\log_x4=2\\\dfrac{x+1}{3}\left(\log_5x-3\log_52\right)+6\log_x2=2

Выполним замену \log_5x=y. Тогда x=5^y.

Заметим сразу, что y\ne0, так как x\ne1.

Тогда уравнение примет вид:

\dfrac{5^y+1}{3}(y-3\log_52)+\dfrac{6}{y}\log_52=2\\\dfrac{5^y+1}{3}\times y-2-\dfrac{5^y+1}{3}\times3\log_52+\dfrac{6}{y}\log_52=0

Так как y\ne0, то верно, что 2=\dfrac{2y}{y}.

С учетом этого перепишем уравнение:

\dfrac{5^y+1}{3}\times y-\dfrac{2y}{y}-\dfrac{5^y+1}{3}\times3\log_52+\dfrac{6}{y}\log_52=0\\y\left(\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}\right)-3\log_52\left(\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}\right)=0\\\left(\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}\right)\left(y-3\log_52\right)=0

Тогда перейдем к совокупности:

\left[\begin{array}{c}\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}=0\\y-3\log_52=0\end{array}\right;

Рассмотрим первую строку совокупности:

\dfrac{5^y+1}{3}-\dfrac{2}{y}=0\\\dfrac{5^y+1}{3}=\dfrac{2}{y}

Слева показательная функция. Она монотонно возрастает.

Справа гипербола. Она убывает на всей области определения.

Тогда рассматриваемое уравнение может иметь не более одного корня.

Несложно увидеть, что это y=1, так как при нем равенство верно.

Рассмотрим вторую строку совокупности:

y-3\log_52=0\\y=3\log_52

Выполним теперь обратную замену:

\left[\begin{array}{c}y=1\\y=3\log_52\end{array}\right,\;=\;\left[\begin{array}{c}x=5\\x=8\end{array}\right;

Так, учитывая ОДЗ, мы получили, что x=5 и x=8 - это корни исходного уравнения.

Задание выполнено!

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота