Бабуся готує онукові на вечерю грінки. Для їх приготування вона використовує маленьку сковороду, здатну вмістити тільки дві хлібних скибочки. На обсмажування кожної зі сторін скибочки хліба витрачається одна хвилина часу. Щоб приготувати три грінки, бабусі достатньо всього лише трьох хвилин замість очевидних чотирьох. Як їй вдається це зробити?
Решение проводим с калькулятора.
Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0
^A ≈ 530
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.50
Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72
^NKA≈ 1800 - 720 = 1080
^ANK ≈ 1800 - (1080 + 26.50) ≈ 45.50
tg(45.50) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y - y0 = k(x - x0)
y - 1 = 1(x - 2)
или
y = x -1
как я понял
Математика – цікава і необхідна в житті наука. Вже з глибокої давнини люди використовували її при складанні календаря і вимірюванні відстаней, у будівництві та подорожах, у розрахунках при торгівлі.
Цифри оточують нас з самого першого дня. Як тільки дитина народилася, його мамі вже повідомляють його ріст і вага. Потім він вчиться рахувати і визначати час, порівнювати предмети за розміром і формою.
Мені математика потрібна, щоб скласти режим дня, правильно порахувати здачу в магазині.
Ще я дуже люблю збирати моделі з конструктора і грати в логічні комп'ютерні ігри, а в них важливі математичний розрахунок і кмітливість.
Бабуся використовує математику, коли готує нам різні смачні страви і підраховує потрібну кількість продуктів. Мама застосовує математичні розрахунки, коли робить викрійки і вважає петлі у візерунках з в'язання.
Під час ремонту математика нам теж знадобилася. Ми рахували, скільки потрібно шпалер, клею і фарби для наших кімнат по їх площі.
Математика важлива в будь-якій професії. З цифрами працюють економісти і бухгалтери, інженери і архітектори. Музиканти відбивають ритм, художники використовують масштаб і проекції, водії прокладають маршрут і розраховують витрату бензину.
Розклад уроків або руху поїздів, карту місцевості або зоряного неба неможливо скласти без застосування математики.
У сучасному світі на до людині прийшли калькулятори і комп'ютери, але без знання математики не обійтися. Вона розвиває наш розум і логіку, пам'ять і увагу, допомагає у вирішенні життєвих задач.