Решение: 1) Область определения D(y) : x≠2 2) Множество значений функции Е (х) : 3) Проверим является ли функция периодической: y(x)=x^4/(4-2x) y(-x)=(-x)^4/(4-2(-x))=x^4/(4+x), так как у (х) ≠y(-x); y(-x)≠-y(x), то функция не является ни четной ни нечетной. 4) Найдем нули функции: у=0; x^4/(4-2x)=0; x^4=0; x=0 График пересекает оси координат в точке (0;0) 5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума: y'(x)=(4x³(4-2x)+2x^4)/(4-2x)²=(16x³-6x^4)/(4-2x)²; y'=0 (16x³-6x^4)/(4-2x)²=0 16x³-6x^4=0 x³(16-6x)=0 x1=0 x2=8/3 Так как на промежутках (-∞;0) (8/3;∞) y'(x)< 0, то на этих промежутках функция убывает Так как на промежутках (0;2) и (2;8/3) y(x)> 0, то на этих промежутках функция возрастает. В точке х=0 функция имеет минимум у (0)=0 В точке х=8/3 функция имеет максимум у (8/3)=-1024/27≈-37.9 6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости: y'=((16-24x³)(4-2x)²+4(4-2x)(16x-6x^4))/(4-2x)^4=(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³; y"=0 (24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³=0 уравнение не имеет корней. Следовательно: так как на промежутке (-∞;2) y"> 0, тона этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз. Так как на промежутке (2;☆) y"< 0, то на этом промежутке график функции напрвлен выпуклостью вверх. 7) Найдем асимптоты : а) Вертикальные, для этого найдем доносторонние пределы в точке разрыва: lim (при х->2-0) (x^4/(4-2x)=+∞ lim (при х->2+0) (x^4/(4-2x)=-∞ Так как односторонние пределы бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода и прямая х=2 является вертикальной асимптотой. б) наклонные y=kx+b k=lim (при х->∞)(y(x)/x)= lim (при х->∞)(x^4/(x(4-2x))=∞ наклонных асимптот функция не имеет. 8) все, строй график
1) Область определения D(y) : x≠2
2) Множество значений функции Е (х) :
3) Проверим является ли функция периодической:
y(x)=x^4/(4-2x)
y(-x)=(-x)^4/(4-2(-x))=x^4/(4+x), так как у (х) ≠y(-x); y(-x)≠-y(x), то функция не является ни четной ни нечетной.
4) Найдем нули функции:
у=0; x^4/(4-2x)=0; x^4=0; x=0
График пересекает оси координат в точке (0;0)
5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума:
y'(x)=(4x³(4-2x)+2x^4)/(4-2x)²=(16x³-6x^4)/(4-2x)²; y'=0
(16x³-6x^4)/(4-2x)²=0
16x³-6x^4=0
x³(16-6x)=0
x1=0
x2=8/3
Так как на промежутках (-∞;0) (8/3;∞) y'(x)< 0, то на этих промежутках функция убывает
Так как на промежутках (0;2) и (2;8/3) y(x)> 0, то на этих промежутках функция возрастает.
В точке х=0 функция имеет минимум у (0)=0
В точке х=8/3 функция имеет максимум у (8/3)=-1024/27≈-37.9
6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости:
y'=((16-24x³)(4-2x)²+4(4-2x)(16x-6x^4))/(4-2x)^4=(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³; y"=0
(24x^4-96x³+32x+64)/(4-2x)³=0 уравнение не имеет корней.
Следовательно:
так как на промежутке (-∞;2) y"> 0, тона этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.
Так как на промежутке (2;☆) y"< 0, то на этом промежутке график функции напрвлен выпуклостью вверх.
7) Найдем асимптоты :
а) Вертикальные, для этого найдем доносторонние пределы в точке разрыва:
lim (при х->2-0) (x^4/(4-2x)=+∞
lim (при х->2+0) (x^4/(4-2x)=-∞
Так как односторонние пределы бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода и прямая х=2 является вертикальной асимптотой.
б) наклонные y=kx+b
k=lim (при х->∞)(y(x)/x)= lim (при х->∞)(x^4/(x(4-2x))=∞ наклонных асимптот функция не имеет.
8) все, строй график
Задача 4. Чему равен горизонтальный параллакс Юпитера, наблюдаемого с Земли в противостоянии, если Юпитер в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля?
Решение.
Если Юпитер в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля, то расстояние от Земли до Юпитера в 4 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
То есть расстояние равно D=150000000км×4 = 600000000 км.
Найдем sin p= . Подставим значения
sin p = 6400км/600000000км = 0,0000106
где радиус Земли R=6400 км. Следовательно, горизонтальный параллакс Юпитера равен
p= 206265"×0,0000106 ≈ 2,2".
ответ: p≈ 2,2".
В противостоянии от Юпитера до Земли 4 а.е., 1 а.е. соответствует параллаксу 8,8". Исходя из выше написанного параллакс Юпитера равен
p=8,8"/4= 2,2"
ответ р=2,2"