Решение: Обозначим скорость катера за (х) км/час, тогда скорость катера по течению реки равна: (х+2) км/час Время, затраченное катером на преодолению расстояния 22 км по направлению реки составляет: t=S/V или t=22/(x+2) Время в пути по озеру в 9км составило: t=9/x А так как всего затрачено на весь путь время 3 часа, составим уравнение: 22/(х+2) +9/х=3 Приведём уравнение к общему знаменателю (х)*(х+2) х*22 +9*(х+2)=3*(х)*(х+2) 22х+9х+18=3х²+6х 3х²+6х-22х-9х-18=0 3х²-25х-18=0 х1,2=(25+-D)/2*3 D=√(25²-4*3*-18)=√(625+216)=√841=29 х1,2=(25+-29)/6 х1=(25+29)/6=54/6=9 - (км/час скорость катера) х2=(25-29/6=-4/6=-2/3 -не соответствует условию задачи
Нарисовали треугольник, как на чертеже и начинаем расчет. 1) Найти длину АВ. По т. Пифагора - АВ^2 = (Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2. Подставим значения координат, извлекаем корень квадратный. AB^2 = 12^2 + 13^2 = 144+169=313 и AB = 17.7 2) Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты. Уравнение прямой в виде Y=kX+b. Угловой коэффициент k=tg(z) k=(Ay-By)/(Ax-Bx) = -13/12 = -1.083 Угол z=arctg(-1.083) = -0.825 рад. Значение b определим из уравнения для точки В. By = -11 = -13/12*5 +b Отсюда b=-11+65/12=-5.58 И так, уравнение AB Y= -1.083*X-5.58 Аналогично для прямой ВС. k=dY/dX= 22/4 = 5.5 Cy=11=5.5*9+b b=11-49.5=-38.5 BC Y=5.5*X-38.5. Угол наклона =arctg(5.5) =1.39 рад = 79,6 град. 3) Угол В в радианах. pi/2-1.39 +pi/2+1.083 =0.67 рад = 38,3 град 4) Уравнение высоты CD и её длина. Наклон ОБРАТНАЯ величина к AB. Наклон k= 12/13*X+b = 0.923X+b Расчет b. Cy= 11=12/13*9-b b=11-108/13 = 2.69. Окончательно CD Y=.0.923*X+2.69 Координаты точки D - решаем систему уравнений для прямых AB x CD. 0.923*X+2.69= -1.0853*X-5.58 2.0083*X=-8.27 Dx=-4 Подставим в любую прямую Dy= 0.923*(-4.12)+2.69 = -1. Длина CD по т. Пифагора. CD^2=13^2+12^2 =169 CD=17.7 5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К. АЕ Y= -2/14*X+1 = - 0.143*X+1. Координаты из системы уравнений. -0.143X+1=0.923X+2.69 1.066X=-1.69 Kx=-1.59 Ky= 1.23 6) Через точку К параллельно АВ. Наклон равен k(AB)= -1.083 параметр по координате Кх -1,083*1,59+b=1,23 b=1.23-1.72=-0.49 окончательно прямая К Y= -1.083*X -0.49/ 7) Координаты точки М. Mx=Ax+2*(Ax-Dx)=-7+2*(7-4)=-1 My=Ay+2*(Ay-Dy) = 2+2*((-1)-2) = -4 Окончательно M(-1;-4)
Обозначим скорость катера за (х) км/час, тогда скорость катера по течению реки равна: (х+2) км/час
Время, затраченное катером на преодолению расстояния 22 км по направлению реки составляет: t=S/V или
t=22/(x+2)
Время в пути по озеру в 9км составило:
t=9/x
А так как всего затрачено на весь путь время 3 часа, составим уравнение:
22/(х+2) +9/х=3 Приведём уравнение к общему знаменателю (х)*(х+2)
х*22 +9*(х+2)=3*(х)*(х+2)
22х+9х+18=3х²+6х
3х²+6х-22х-9х-18=0
3х²-25х-18=0
х1,2=(25+-D)/2*3
D=√(25²-4*3*-18)=√(625+216)=√841=29
х1,2=(25+-29)/6
х1=(25+29)/6=54/6=9 - (км/час скорость катера)
х2=(25-29/6=-4/6=-2/3 -не соответствует условию задачи
ответ: Скорость катера 9км/час
1) Найти длину АВ. По т. Пифагора -
АВ^2 = (Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2. Подставим значения координат, извлекаем корень квадратный.
AB^2 = 12^2 + 13^2 = 144+169=313 и AB = 17.7
2) Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты.
Уравнение прямой в виде Y=kX+b. Угловой коэффициент k=tg(z)
k=(Ay-By)/(Ax-Bx) = -13/12 = -1.083 Угол z=arctg(-1.083) = -0.825 рад.
Значение b определим из уравнения для точки В.
By = -11 = -13/12*5 +b Отсюда b=-11+65/12=-5.58
И так, уравнение AB Y= -1.083*X-5.58
Аналогично для прямой ВС.
k=dY/dX= 22/4 = 5.5 Cy=11=5.5*9+b b=11-49.5=-38.5
BC Y=5.5*X-38.5. Угол наклона =arctg(5.5) =1.39 рад = 79,6 град.
3) Угол В в радианах. pi/2-1.39 +pi/2+1.083 =0.67 рад = 38,3 град
4) Уравнение высоты CD и её длина. Наклон ОБРАТНАЯ величина к AB.
Наклон k= 12/13*X+b = 0.923X+b Расчет b. Cy= 11=12/13*9-b
b=11-108/13 = 2.69. Окончательно CD Y=.0.923*X+2.69
Координаты точки D - решаем систему уравнений для прямых AB x CD.
0.923*X+2.69= -1.0853*X-5.58 2.0083*X=-8.27 Dx=-4 Подставим в любую прямую Dy= 0.923*(-4.12)+2.69 = -1.
Длина CD по т. Пифагора. CD^2=13^2+12^2 =169 CD=17.7
5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К.
АЕ Y= -2/14*X+1 = - 0.143*X+1. Координаты из системы уравнений.
-0.143X+1=0.923X+2.69 1.066X=-1.69 Kx=-1.59 Ky= 1.23
6) Через точку К параллельно АВ. Наклон равен k(AB)= -1.083 параметр по координате Кх -1,083*1,59+b=1,23 b=1.23-1.72=-0.49
окончательно прямая К Y= -1.083*X -0.49/
7) Координаты точки М. Mx=Ax+2*(Ax-Dx)=-7+2*(7-4)=-1
My=Ay+2*(Ay-Dy) = 2+2*((-1)-2) = -4 Окончательно M(-1;-4)
Вот такое большое-пребольшое решение.