Дан куб abcda1b1c1d1. на рёбрах b1c1 и c1d1 соответственно отмечены точки n и m так, что b1n: nc1=1: 1; c1m: md1=1: 1. определи
косинус угла α между прямыми bn и cm, если ребро куба равняется 1 ед. изм.

Пусть Вера нашла х орехов, тогда Надя нашла 2х орехов.
По условию Люба нашла больше орехов, чем Вера но меньше чем Надя.
Пусть Люба нашла у орехов, тогда: х<y<2x
Составим и решим уравнение:
х+2х+у=14
3х+у=14
Исходя из получившегося уравнения имеем:
3х=14-у
Поскольку у>1
3x<14
x<14/3, значит х может принимать значения равные 1, 2, 3, 4.
Проверим каждое:
х=1 орех собрала Вера
2*1=2 ореха собрала Надя
у=14-1*3=11 орехов собрала Люба
Проверка условия
3<11<6 не верное решение

х=2 ореха собрала Вера
2*2=4 ореха собрала Надя
у=14-3*2=8 орехов собрала Люба
Проверка условия
2<8<4 не верное решение

х=3 ореха собрала Вера
2*3=6 орехов собрала Надя
у=14-3*3=5 орехов собрала Люба
Проверка условия
3<5<6 подходит по условию

х=4 ореха собрала Вера
2*4=8 орехов собрала Надя
у=14-3*4=2 ореха собрала Люба
Проверка условия
3<2<6 не верное решение

ответ 3 ореха собрала Вера, 6 орехов собрала Надя и 5 Люба 

Получилась треугольная пирамида. Нам надо найти расстояние от вершины до плоскости основания, то есть высоту.
Опустим перпендикуляр из точки на плоскость. Он попадёт в точку, которая тоже удалена одинаково от всех трёх углов, то есть центр описанной окружности.
У прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы.
Катеты равны 3 и 4, значит гипотенуза 5.
Получаем прямоугольный треугольник, образованный половиной гипотенузы основания и высотой пирамиды (это катеты) и боковым ребром (гипотенуза).
Половина гип-зы основания равна 2,5. Боковое ребро 6,5.
Значит, высота равна
H^2=b^2-(c/2)^2=(6,5)^2-(2,5)^2=
42,25-6,25=36
H=√36=6