В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
mirst14
mirst14
15.03.2023 03:40 •  Математика

Дан треугольник. внутри него построены четыре окружности равного радиуса r так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. найдите r, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны 5 и 15 соответственно.

Показать ответ
Ответ:
chackandrew
chackandrew
28.07.2020 21:04
 Очень кондовое решение  
Пусть AB=a \\ 
 BC=b \\ 
 AC=c \\ 
 c=30*sinB\\ 
 a=30*sin(A+B) \\ 
 b=30*sinA \\ 

Последнее через теореме синусов  
Тогда , из условию следует что 
sinB+sin(A+B)+sinA = 6*sinB*sin(A+B)*sinA  
Это следствие из формулы S=pr\\ S=\frac{abc}{4R}     
Теперь , положим что \angle A= \angle B \\

Из выше описанной формулы следует что   A=B=2arctg( \sqrt{\frac{5-\sqrt{12}}{13}} )\\
  
b=c=5\sqrt{24-6\sqrt{3}} \\
 a=10\sqrt{5+2\sqrt{3}}      
Впишем наш контр пример , в координатную систему OXY    
A(0;0) \\
 B(10\sqrt{5+2\sqrt{3}};0)   
Тогда центры меньших треугольников будут равны 
O_{A} \ (r \sqrt{5+\sqrt{12}} ; r) \\ 
 O _{B} \ ((\sqr{5+\sqrt{12 })*(10-r) ; r) 

 O_{N} \ (5 \sqrt{5+\sqrt{12}} ; y) \\ 
 O_{C} \ (5\sqrt{5+\sqrt{12}} ; y+2r) 
 
 Найдем координату y   
 Его можно найти   
 Из уравнения 
 (x-r\sqrt{5+\sqrt{12}}) ^ 2 + (y-r)^2=4r^2 \\ 
 ( (x - \sqrt{5+\sqrt{12}})*(10-r))^2+(y-r)^2=4r^2           
 Найдя его , затем учитывая что 
 d( O_{A}O_{N}) = 4r^2         
 Найдем что r=3                                       
 Но задача , видимо решается через так  называемую                       ГОМОТЕТИЮ  
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота