Даны вершины А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3) треугольника. Найти: 1. Длину стороны АВ;
2. Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;
3. Уравнение высоты, проведенной через вершину С;
4. Уравнение медианы проведенной через вершину С;
5. Точку пересечения высот треугольника;
6. Длину высоты, проведенной через вершину С
7. Сделать чертеж.

А(14;-1), В(6;5), С(7;0)

Даны вершины треугольника: А(14; -1), В(6; 5), С(7; 0) .

Найти:

1. Длину стороны АВ. Вектор АВ = (6-14; 5-(-1)) = (-8; 6).

|АВ| =  √((-8)² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

2. Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01.

Вектор АC = (7-14; 0-(-1)) = (-7; 1).

|АC| =  √((-7)² + 1²) = √(49 + 1) = √50 = 5√2.

cos A = (-8*(-7) + 6*1)/(10*5√2) = 62/(50√2) = 31√2/50 ≈ 0,876812.

A = 0,50160 радиан ,

A = 28,7398 градусов .

3. Уравнение высоты, проведенной через вершину С.

Это перпендикуляр СН к стороне АВ. Вектор АВ = (-8; 6).

Уравнение АВ: (x - 14)/(-8) = (y + 1)/6 или в общем виде: 3x + 4y - 38 = 0.

У перпендикуляра коэффициенты А и В меняются на -В и А.

Уравнение СН: -4x + 3y + C = 0. Подставим координаты точки С.

-4*7 + 3*0 + С = 0, отсюда С = 28.

Уравнение СН: -4x + 3y + 28 = 0.

4. Уравнение медианы проведенной через вершину С.

Медиана СМ. Точка М - середина АВ.

М = ((14+6)/2; (-1+5)/2) = (10; 2).

Вектор СМ = (10-7; 2-0) = (3; 2).

Уравнение СМ: (x - 7)/3 = y /2 или в общем виде 2х - 3у - 14 = 0.

5. Точку пересечения высот треугольника;

Уравнение СН: -4x + 3y + 28 = 0. Аналогично находим высоту из вершины А:

у = к* х + в

у = 0,2 х + -3,8   или 10х - 50у - 19 = 0.

Решая совместно 2 уравнения, находим координаты точки их пересечения:

Точка К:  

         x                              y

4,882352941     -2,823529412 .

6. Длину высоты, проведенной через вершину С.

Находим площадь  треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 17.

h = 2S/|AB| = 2*17/ 10 = 3,4.