Задача 1: (6–7) Из утверждений «число a делится на 2", «число a делится на 4", «число a делится на 12" и «число a делится на 24" три верных, а одно неверное. Какое?
Решение: Предположим, что последнее утверждение верно. Но в этом случае будут верными также и первые три утверждения, так как если число делится на 24, то оно также делится на 2, 4 и 12. Поэтому последнее утверждение не может быть верным.
Покажем теперь, что ситуация, когда первые три утверждения верны, а последнее — нет, возможна. Эта ситуация реализуется, например, если a = 12.
Задача 2: (6–7) На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?
Решение: За каждый шаг, независимо от того, какие числа мы увеличиваем, сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Поскольку вначале сумма равна 1, то она всегда будет оставаться нечетной. А сумма четырех одинаковых чисел, очевидно, четна. Поэтому, добиться, чтобы все числа стали равными невозможно.
Задача 3: (6–7) Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый из них весит не более одной тонны. Сколько трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз?
Решение: Покажем, что пяти машин заведомо достаточно. Будем грузить машины ящиками в любом порядке до тех пор, пока ящики не кончатся, следя лишь за тем, чтобы не наступила «перегрузка" машины. Это возможно, так как в любой момент погрузки будет хотя бы одна машина, загруженная не более чем двумя тоннами. Действительно, если бы все машины были загружены больше, чем на две тонны, то общий вес груза составлял бы больше, чем 5 • 2,т=10,т, что противоречит условию задачи. Эту машину можно догрузить любым ящиком, поскольку по условию задачи он весит не более тонны. Осталось показать, что четырех машин может не хватить. Например, для вывоза 13 ящиков весом ,т каждый, четырех машин недостаточно. Действительно, каждая машина может увезти не более трех таких ящиков, так как четыре ящика весят ,т > 3,т. Значит, все машины увезут не больше 12 ящиков.
Посчитаем сначала сколько всего возможных исходов: если сами числа 100 и 200 входят в условие, то всего возможных чисел 101. 1. из них нечетных чисел 50, значит вероятность нечетного 50/101. 2. посчитаем, сколько чисел от 100 до 200 содержат 3ки: во-первых, это числа вида 103, 113 и тд. во вторых, это 130, 131, 132 и тд. сколько всего? 19 таких чисел. тогда вероятность равно 19/101 3. сколько чисел в промежутке от 100 до 200 включительно являются кубом целого числа? такое число только одно 125 - куб числа 5. куб числа 6 = 216 и не входит в промежуток. куб числа 4 равен 64 и не входит в промежуток. значит, вероятность равна 1/101 4. сколько чисел с суммой цифр больше трех входят в промежуток? для этого сначала посчитаем, сколько чисел с суммой меньше или равной трем туда входит. это числа 100, 101, 102, 110, 111, 120. то есть их всего 6. значит, все остальные числа из промежутка имеют сумму цифр больше трех. 101-6=95 - это количество чисел с суммой цифр больше трех. тогда вероятность равна 95/101
Задача 1: (6–7) Из утверждений «число a делится на 2", «число a делится на 4", «число a делится на 12" и «число a делится на 24" три верных, а одно неверное. Какое?
Решение: Предположим, что последнее утверждение верно. Но в этом случае будут верными также и первые три утверждения, так как если число делится на 24, то оно также делится на 2, 4 и 12. Поэтому последнее утверждение не может быть верным.
Покажем теперь, что ситуация, когда первые три утверждения верны, а последнее — нет, возможна. Эта ситуация реализуется, например, если a = 12.
Задача 2: (6–7) На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?
Решение: За каждый шаг, независимо от того, какие числа мы увеличиваем, сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Поскольку вначале сумма равна 1, то она всегда будет оставаться нечетной. А сумма четырех одинаковых чисел, очевидно, четна. Поэтому, добиться, чтобы все числа стали равными невозможно.
Задача 3: (6–7) Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый из них весит не более одной тонны. Сколько трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз?
Решение: Покажем, что пяти машин заведомо достаточно. Будем грузить машины ящиками в любом порядке до тех пор, пока ящики не кончатся, следя лишь за тем, чтобы не наступила «перегрузка" машины. Это возможно, так как в любой момент погрузки будет хотя бы одна машина, загруженная не более чем двумя тоннами. Действительно, если бы все машины были загружены больше, чем на две тонны, то общий вес груза составлял бы больше, чем 5 • 2,т=10,т, что противоречит условию задачи. Эту машину можно догрузить любым ящиком, поскольку по условию задачи он весит не более тонны. Осталось показать, что четырех машин может не хватить. Например, для вывоза 13 ящиков весом ,т каждый, четырех машин недостаточно. Действительно, каждая машина может увезти не более трех таких ящиков, так как четыре ящика весят ,т > 3,т. Значит, все машины увезут не больше 12 ящиков.