Две идентичные копии прямоугольного треугольника помещаются друг на друга, чтобы получился четырехугольник ABCD, как показано ниже. B С A D диаграмма не в масштабе Перпендикулярные стороны треугольников находятся в соотношении 1: 3 Какая часть площади четырехугольника покрыта обоими треугольниками?
Проведем перпендикуляр RG к cтороне AB. Поскольку стороны перпендикулярных сторон относятся как 3:1, то обозначим доли отношений: BR =TD = 2x; AR = AT= x.
Откуда Δ ABT подобен Δ RBG, а значит:
RG = 2x/3
Δ CRG подобен Δ CTD по двум накрест лежащим углам при параллельных прямых, а значит:
GC/CT = RC/CD = (2x/3)/2x = 1/3
Тогда:
RD/CD = 4:1
Заметим, что Δ RAD и Δ СTD имеют общий угол при вершине D. Площади обоих треугольников можно найти следующим образом:
ответ: 5/7
Пошаговое объяснение:
Проведем перпендикуляр RG к cтороне AB. Поскольку стороны перпендикулярных сторон относятся как 3:1, то обозначим доли отношений: BR =TD = 2x; AR = AT= x.
Откуда Δ ABT подобен Δ RBG, а значит:
RG = 2x/3
Δ CRG подобен Δ CTD по двум накрест лежащим углам при параллельных прямых, а значит:
GC/CT = RC/CD = (2x/3)/2x = 1/3
Тогда:
RD/CD = 4:1
Заметим, что Δ RAD и Δ СTD имеют общий угол при вершине D. Площади обоих треугольников можно найти следующим образом:
S Δ RAD = 0.5*RD*AD*sinD
S Δ CTD = 0.5*CD*TD*sinD
Откуда:
S Δ RAD/S Δ CTD = (RD*AD)/(CD*TD) = (RR/CD) * (AD/TD) =4 * 3/2 = 6
Обозначим: S Δ RAD = S ΔBAT = S, тогда:
S Δ CTD = S Δ BRC = S/6
Таким образом, можно выразить площадь четырехугольника покрытого обоими прямоугольными треугольниками:
S RCTA = S - S/6 = 5S/6
Теперь найдем площадь четырехугольника ABCD:
S ABCD = 2S/6 + 5S/6 = 7S/6
Наконец получаем:
S RCTA/S ABCD = 5/7
S RCTA = (5/7) * S ABCD