Математика: Геометрия 10 клас. Задание Г

Воспользуемся методом, позволяющим находить в разложении многочлена на скобки выражения вида Если a 0, это сразу дает два решения если a 0, действительные корни эта скобка не дает, но по любому степень многочлена будет понижена на 2. Кстати, решения вида я называю парными; название мне кажется оправданным. Легко доказать, что многочлен P(x) имеет парные корни тогда и только тогда, когда они обращают в ноль по отдельности сумму четных степеней и сумму нечетных степеней. Это следует из того, что...

Геометрия 10 клас. Задание Г

Показать ответ

Ответ:

danifoxyforevep08iko

09.03.2023 10:21

Воспользуемся методом, позволяющим находить в разложении многочлена на скобки выражения вида x^2-a. Если a>0, это сразу дает два решения $\pm \sqrt{a},$ если a<0, действительные корни эта скобка не дает, но по любому степень многочлена будет понижена на 2. Кстати, решения вида $\pm \lambda$ я называю парными; название мне кажется оправданным. Легко доказать, что многочлен P(x) имеет парные корни $\pm\lambda$ тогда и только тогда, когда они обращают в ноль по отдельности сумму четных степеней и сумму нечетных степеней. Это следует из того, что сумма четных степеней равна $\frac {P(\lambda)+P(-\lambda)}{2},$ а сумма нечетных равна $\frac{P(\lambda)-P(-\lambda)}{2}.$

Кстати, это утверждение будет работать и для нулевого корня, если считать, что ноль является парным корнем, в том случае, когда он является кратным.

1) Разбиваем на четные и нечетные степени: $x^6+2x^4-5x^2-6=t^3+2t^2-5t-6=0\ \ (t=x^2);$

$-2x^5+2x^3+4x=-2x(t^2-t-2)=-2x(t-2)(t+1)=0;\ t_1=2; t_2=-1;$

найденные t удовлетворяют и первому уравнению, поэтому оно принимает вид (t-2)(t+1)(t+3)=0, а поскольку исходное уравнение может быть получено в виде суммы этих двух, получаем

(t-2)(t+1)(t+3)-2x(t-2)(t+1)=0; (t-2)(t+1)(t-2x+3)=0; (x²-2)(x²+1)(x²-2x+3)=0.

ответ: $\pm\sqrt{2}.$