Мақалада тарихи деректердің негізінде IV-V ғасырлардағы Византия империясы мен ғұндардың қарым-қатынасы қарастырылады. Қазіргі таңда дүниежүзі тарихында Түркі тайпаларының соның ішінде қарастырылып отырған мәселеміз - Ғұн державасының тарихи маңызы өте зор. Халықтардың Ұлы қоныс аудару кезеңінде ғұндар Орталық Азия жерінен Батыс Еуропа жеріне Шығыс мәдениетінің элементтерін алып келді. Бұл отан тарихында ең өзекті мәселелердің бірі болып табылады. Түйін сөздер; Византия, ғұндар, тарихи дерек, империя, диадема, тайпа, өркениет.
Даны две параболы y = x^2 + 4 и y = -(6 - x)^2 - 2, имеющие две общие касательные. Найти абсциссу точки пересечения этих касательных между собой.
Уравнение касательной - это уравнение прямой и имеет вид y=kx+b
Общая касательная пересекается с каждым графиком в одной точке. Тогда для первого графика точку пересечения с касательной можно найти из уравнения x2 + 4 = kx + b, для второго графика из уравнения –(6 –x)2- 2 = kx + b.
1) x2 + 4 = kx + b
x2+ 4 – kx - b = 0
x2 – kx + (4 - b) = 0
Касательная имеет с графиком только одну общую точку, следовательно, корень уравнения должен быть один, а это возможно, когда дискриминант равен нулю.
D = k2 - 4(4 - b) = 0
2) –(6 –x)2- 2 = kx + b.
-36 + 12x - x² - 2 = kx + b
x2 - (12 - k)x + (38 + b) = 0
Приравниваем дискриминант к нулю:
D = (12 - k)2 - 4(38 + b) = 0.
Так как касательная общая, значит, дискриминанты обоих уравнений должны быть равны нулю вместе. Решаем систему уравнений:
Мақалада тарихи деректердің негізінде IV-V ғасырлардағы Византия империясы мен ғұндардың қарым-қатынасы қарастырылады. Қазіргі таңда дүниежүзі тарихында Түркі тайпаларының соның ішінде қарастырылып отырған мәселеміз - Ғұн державасының тарихи маңызы өте зор. Халықтардың Ұлы қоныс аудару кезеңінде ғұндар Орталық Азия жерінен Батыс Еуропа жеріне Шығыс мәдениетінің элементтерін алып келді. Бұл отан тарихында ең өзекті мәселелердің бірі болып табылады. Түйін сөздер; Византия, ғұндар, тарихи дерек, империя, диадема, тайпа, өркениет.
Даны две параболы y = x^2 + 4 и y = -(6 - x)^2 - 2, имеющие две общие касательные. Найти абсциссу точки пересечения этих касательных между собой.
Уравнение касательной - это уравнение прямой и имеет вид y=kx+b
Общая касательная пересекается с каждым графиком в одной точке. Тогда для первого графика точку пересечения с касательной можно найти из уравнения x2 + 4 = kx + b, для второго графика из уравнения –(6 –x)2- 2 = kx + b.
1) x2 + 4 = kx + b
x2+ 4 – kx - b = 0
x2 – kx + (4 - b) = 0
Касательная имеет с графиком только одну общую точку, следовательно, корень уравнения должен быть один, а это возможно, когда дискриминант равен нулю.
D = k2 - 4(4 - b) = 0
2) –(6 –x)2- 2 = kx + b.
-36 + 12x - x² - 2 = kx + b
x2 - (12 - k)x + (38 + b) = 0
Приравниваем дискриминант к нулю:
D = (12 - k)2 - 4(38 + b) = 0.
Так как касательная общая, значит, дискриминанты обоих уравнений должны быть равны нулю вместе. Решаем систему уравнений:
{ k2 - 4(4 - b) = 0;
{ (12 - k)2 - 4(38 + b) = 0.
{ k2 – 16 + 4b = 0;
{ 144 - 24k + k2 – 152 - 4b = 0.
{ k2 + 4b - 16 = 0;
{ k2 – 24k - 4b - 8 = 0.
Вычтем почленно из первого уравнения второе:
24k + 8b - 8 = 0 или, сократив на 8,
3k + b - 1 = 0.
b = 1 - 3k. Подставим в первое уравнение:
k2 + 4(1 - 3k) - 16 = 0,
k2 - 12k + 4 - 16 = 0,
k2 - 12k - 12 = 0. D = 144 – 4*1*(-12) = 192,
k1 = (12 - √192)/2 = (12 - 8√3)/2 = 6 - 4√3 ≈ -0,9282,
k2 = (12 + √192)/2 = (12 + 8√3)/2 = 6 + 4√3 ≈12,9282,
b1 = 1 - 3·(6 - 4√3) = -17 + 12√3 ≈ 3,7846,
b2 = 1 - 3·(6 + 4√3) = -17 - 12√3 ≈ -37,7846.
Решение состоит из двух пар чисел:
(k = 6 - 4√3; b = -17 + 12√3) и (k = 6 + 4√3; b = -17 - 12√3).
Это означает, что графики имеют две общие касательные, уравнения которых:
y = (6 - 4√3)x -17 + 12√3 и у = (6 + 4√3)x -17 - 12√3.
Находим точку А пересечения касательных.
(6 - 4√3)x -17 + 12√3 = (6 + 4√3)x -17 - 12√3,
6x - 4√3x - 6x - 4√3x = -17 - 12√3 +17 - 12√3,
- 8√3x = - 24√3,
x = 3, y = (6 - 4√3)*3 -17 + 12√3 = 18 - 12√3 -17 + 12√3 = 1.
ответ: точка пересечения А(3; 1).