I этап республиканской олимпиады школьников по математике 2020-2021 учебный год
9 класс. І день
Время работы: 3 часа. Касдая задача оценивается в
Использование калькуляторов запрещено.
1. Дан равнобедренный треугольник ABC c AB = AC и AB = 36°. Длина
биссектрисы, проведенной из вершины В. равна 10. Найдите длину высоты.
проведенной из вершины А.
2. Найдите все натуральные числа п такие, что число n* - 2n + 23n? - 22n + 16
Является полным квадратом.
3. На олимпиаде «Шелковый Путь», где участвовали 100 школьников, были
предложены четыре задачи. 1-ю задачу решили 90 школьников, 2-ю - 80, 3-10-70,
а 4-ю
всего 60 школьников. Никто не решил все четыре задачи. Сколько
школьников решили ровно по три задачи? ответ обосновать,
5 кг корма в день требуется одной лошади и 3 кг - одной корове.
Пошаговое объяснение:
Пусть корова съедает х кг в день, а лошадь - у кг в день, тогда по условию
3у + 4х = 27 и
9у - 5х = 30.
Составим и решим систему уравнений:
{3у + 4х = 27,
{9у - 5х = 30;
{-9у - 12х = - 81,
{9у - 5х = 30;
Складываем левые и правые части равенств:
-9у - 12х + 9у - 5х = -81 + 30
-17х = -51
х = -51 : (-17)
х = 3
Получили, что
{х = 3,
{3у + 4х = 27;
{х = 3,
{3у + 12 = 27;
{х = 3,
{3у = 15;
{х = 3,
{у = 5;
5 кг корма в день требуется одной лошади и 3 кг - одной корове.
Пишем три уравнения.
1) X + Y +Z = 104 - всего
2) Y + Z = 68 - на второй и третьей полке
3) Х = Z + 9 - на первой больше на 9.
Решаем методом подстановки.
Подставим ур. 2) в ур. 1) и получим
4) X + 68 = 104
Находим неизвестное - Х
5) Х = 104 - 68 = 36 шт - на первой полке - ОТВЕТ
Находим неизвестное - Z - из ур. 3)
6) Z = X - 9 = 36 - 9 = 27 шт - на третье полке - ОТВЕТ
Находим неизвестное - У из ур. 2)
7) У = 68 - Z = 68 - 27 = 41 на второй полке - ОТВЕТ
ОТВЕТ: 36, 41, 27.
Проверка
36 + 41 + 27 = 104 - правильно