Имея боезапас из пяти патронов, стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p=1/3. Построить ряд распределения для дискретной случайной величины Х – числа израсходованных патронов, найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

хi  1       2       3        4           5  

рi  1/3    2/9    4/27   8/81      16/81

р-1/3, q=1-1/3=2/3-вероятность промаха.

р₁=1/3; р₂=(1/3)*(2/3)=2/9; р₃=(1/3)*(2/3)²=4/27; р₄=(1/3)*(2/3)³=8/81; р₅=(2/3)⁴=16/81

Проверка: сумма вероятностей равна (1/3)+(2/9)+(4/27)+(8/81)+(16/81)=

(81+54+24+36+48)/243=243/243=1

Ряд распределения построен верно.

Мат. ожидание равно М(х)=

1*(1/3)+2*(2/9)+3*(4/27)+4*(8/81)+5*(16/81)=

(81+108+108+96+240)/243=633/243=211/81; (М(х))²=(211/81)=44521/6561;

Найдем мат. ожидание от х²

хi²  1       4      9      16        25

рi  1/3    2/9    4/27   8/81      16/81

М(х²)=1*(1/3)+4*(2/9)+9*(4/27)+16*(8/81)+25*(16/81)=

(27+72+108+128+400)/81=735/81=245/27;

Дисперсия D(x)=М(х²)-(М(х))²=245/27 - 44521/6561=15014/6561≈2.2884

Среднеквадратическое отклонение δ=√D(x)=√2.2884≈1.5