Из 8 спортсменов команды, успешно выступивших на районных соревнованиях, надо
выбрать 3 для участия в областных соревнованиях. Сколько существует чтобы
сделать такой выбор?

Четырехугольник, в котором провели диагональ разбивается на два треугольника с общей стороной. Необходимо, чтобы для длин сторон каждого из этих треугольников выполнялось неравенство треугольника (a+b>c, где a,b,c - длины сторон треугольника).
Посмотрим, какие длины сторон могут быть у треугольника, если одна из его сторон равна 15.
15<11.5+10 - может быть 10, 11.5, 15
15<11.5+4 - может быть 4, 11.5, 15
15>11.5+2 - такого набора длин сторон быть не может
15>10+4 - такого набора длин сторон быть не может
15>10+2 - такого набора длин сторон быть не может

Рассмотрим первый вариант. На второй треугольник остаются длины 2, 4 и одна из длин сторон первого треугольника, а этого быть не может (2+4<10<11.5<15)

Теперь второй вариант:
Остаются 2 и 10.
2+4<10
2+10>11.5 - единственный подходящий вариант.
2+10<15

Диагональ входит в оба треугольника, а значит ее длина 11.5

"Хорошее" семизначное число -  цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды

Возможные варианты:

1)  все число состоит из одинаковых цифр
1111111, 2222222, ..., 9999999
Всего 9 чисел.

2) В записи числа участвуют    a,a,a,a,a,b,b, причем a и b - различны.
Пусть первая цифра b занимает в числе последовательно позицию K от первой до шестой, а вторая цифра b располагается за ней, занимая позицию от (K+1) до 7.
Тогда возможное количество таких расположений цифр в семизначном числе
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
Остальные позиции в числе занимают цифры a.
Число a может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов), цифра b может быть любой цифрой, кроме занятой a (8 вариантов)
Таким образом, чисел вида 5+2 будет
21 * 8 * 9 = 1512

3) В записи числа участвуют    a,a,a,a,b,b,b, причем a и b - различны
Пусть первая цифра b занимает в числе последовательно позицию K от первой до пятой, вторая цифра b располагается за ней, занимая позицию N от (K+1) до шестой, а третья цифра b располагается за второй, занимая позицию от (N+1) до 7.
Тогда возможное количество таких расположений цифр b в семизначном числе
(b)    5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 
(ab)      + 4 + 3 + 2 + 1 +
(aab)           + 3 + 2 + 1 +
(aaab***)                 + 2 + 1 +
(bbb)                     + 1 =   35
Число a может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов), цифра b может быть любой цифрой, кроме занятой a (8 вариантов)
Таким образом, чисел вида 4+3 будет
35 * 8 * 9 = 2520

4) В записи числа участвуют    b,b,b,a,a,d,d, причем a,b и d - различны
Возможное количество расположений цифр b в числе - 35 (см п.3).
На четырех оставшихся местах каждого числа цифры a и d могут располагаться так:
aadd   adad   adda   daad   dada   ddaa  -  всего 6 вариантов.

Число b может быть любой цифрой от 1 до 9 (9 вариантов), цифра a может быть любой цифрой, кроме занятой b (8 вариантов), цифра d может быть любой цифрой, кроме занятой b и a (7 вариантов), 
Таким образом, чисел вида 3+2+2 будет
35 * 6 * 7 * 8 * 9 = 105840

Итого "хороших" семизначных чисел без нуля в записи
9 + 1512 + 2520 + 105840 = 109881