Из астаны выехал велосипедист со скоростью 15 км/час. спустя 3 часа вслед ему отправился мотоциклист, который в первый час проехал 20 км, а каждый следующий час проезжал на 1 км больше, чем в предыдущий. сколько часов потребовалось мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста? а) 5; в) 12; с) 6,5; d) 6; е) 5,5
ехал один 3 часа
нач.ск. мот. --- 20 км/час
ежечасное увеличение --- 1 км/час
время догоняния ? час
Решение.
Х час время догоняния (время мотоциклиста)
(Х+3) час ехал всего велосипедист
15(Х+3) км проехал велосипедист
20Х км проехал бы мотоциклист, если бы ехал с постоянной скоростью 20 км/час.
(Х-1) час число часов, когда скорость мотоциклиста была увеличенной.
1 * (1; 2; ..., (Х-1)) км прогрессия, которую составляет увеличение проходимого в час мотоциклистом расстояния за счет увеличения скорости в каждый последующий час,
(1 + (Х-1))*(Х-1)/2 = Х(Х-1)/2 км суммарное расстояние, добавившееся за счет ежечасного увеличения скорости против начальной 20 км/час (сумма арифметической прогрессии)
15(Х+3) = 20Х + (Х²-Х)/2 т.к. мотоциклист по условию догнал велосипедиста, то пройденные расстояния будут одинаковые.
15Х + 45 = 20Х + (Х²-Х)/2
Х² - Х + 40Х - 30Х - 90 = 0
Х² + 9Х - 90 = 0
D = 9² + 4*90 = 81 + 360 = 441; D > 0, находим корни
Х₁ = (-9 + √D)/2 = (-9 + 21)/2 = 12/2 = 6 (час)
Х₂ = (-9 -D)/2 = (-9 - 21)/2 = -15 (час) --- посторонний, не имеет смысла в данной задаче.
ответ: 6 час.