Из колоды в 36 карт вынимается карта, записывается ее название и затем карта возвращается в колоду. Найти вероятность того, что при пятикратном повторении этого опыта крестовые карты появятся три раза.
Для начала построим сечение MNK. Соединяем точки M и N, N и К, лежащие попарно в плоскостях СС1В1В и СС1А1А соответственно. Затем проводим прямые NM и NK до пересечения с ребрами ВВ1 и АА1 соответственно. Получаем точки Р и Н , лежащие в плоскости, содержащей грань АА1В1В призмы. Соединив точки Р и Н получим точки L и R и прямую LR, по которой плоскость сечения пересекает грань АА1В1В. MNKLR - искомое сечение.
а) Теперь надо доказать, что прямая LR проходит через точку Q.
Точка пересечения диагоналей - центр прямоугольника АА1В1В, следовательно, прямая ST, проходящая через середины сторон АА1 и ВВ1, параллельная АВ и А1В1, проходит через точку Q.
Тогда в равных по двум катетам (SH = ТР и SQ = TQ) прямоугольных треугольниках SHQ и TPQ отрезки A1L и BR равны, как соответственные средние линии. Треугольники QA1L и BRQ равны по двум сторонам (QA1=QR - A1B диагональ прямоугольника А1L = BR) и углу между ними (∠LA1Q = ∠RBQ, как накрест лежащие углы при параллельных АВ и А1В1 и секущей А1В).В равных углах против равных сторон лежат равные углы. Значит ∠А1QL = BQR. А так как А1В - прямая, то ∠А1QL и BQR - вертикальные и по определению LR - прямая, проходящая через точку Q. Следовательно, сечение проходит через точку Q и точки Q, M, N и K лежат в плоскости сечения, что и требовалось доказать.
б) Отметим, что ∠LQN = RQN = 90° так как QN параллельна плоскости основания, а плоскость АА1В1В перпендикулярна плоскости основания. KL║NQ║MR.
Тогда QNKL и QNMR - равные прямоугольные трапеции.
В трапеции NKLQ основания NQ = (√3/2)·a (как высота правильного треугольника) NQ = (√3/2)·8 = 4√3 ед.
KL = (1/2)·NQ = 2√3 ед. (средняя линия треугольника NHQ).
LQ = √(LJ²+JQ²) = √(4+2) = √6 ед. (по Пифагору).
Площадь трапеции Snklq = (KL+NQ)·LQ/2 = (2√3+4√3)·√6/2 = 9√2 ед².
В 1,5 раза 2-комнатная квартира была дороже однокомнатной изначально.
Пошаговое объяснение:
Пусть первоначальная цена 1-комнатной квартиры х, а 2-х комнатной k*х. Две квартиры вместе стоят х+k*х
Их цены в новом году 0,9х и 0,8*k*х – соответственно.
Суммарно в новом году две квартиры вместе стоят 0,84*(х+k*х)
Тогда:
0,9х + 0,8*k*х=0,84*(х+k*х)
х(0,9+0,8k)=0,84х+0,84kх
х(0,9+0,8k)=х(0,84+0,84k)
0,9+0,8k=0,84+0,84k
0,9-0,84=0,84k-0,8k
0,06=0,04k
k=0,06:0,04
k=1,5
В 1,5 раза 2-комнатная квартира была дороже однокомнатной
а) Доказательство в объяснении.
б) Площадь сечения равна 18√2 ед².
Пошаговое объяснение:
Для начала построим сечение MNK. Соединяем точки M и N, N и К, лежащие попарно в плоскостях СС1В1В и СС1А1А соответственно. Затем проводим прямые NM и NK до пересечения с ребрами ВВ1 и АА1 соответственно. Получаем точки Р и Н , лежащие в плоскости, содержащей грань АА1В1В призмы. Соединив точки Р и Н получим точки L и R и прямую LR, по которой плоскость сечения пересекает грань АА1В1В. MNKLR - искомое сечение.
а) Теперь надо доказать, что прямая LR проходит через точку Q.
Точка пересечения диагоналей - центр прямоугольника АА1В1В, следовательно, прямая ST, проходящая через середины сторон АА1 и ВВ1, параллельная АВ и А1В1, проходит через точку Q.
Тогда в равных по двум катетам (SH = ТР и SQ = TQ) прямоугольных треугольниках SHQ и TPQ отрезки A1L и BR равны, как соответственные средние линии. Треугольники QA1L и BRQ равны по двум сторонам (QA1=QR - A1B диагональ прямоугольника А1L = BR) и углу между ними (∠LA1Q = ∠RBQ, как накрест лежащие углы при параллельных АВ и А1В1 и секущей А1В).В равных углах против равных сторон лежат равные углы. Значит ∠А1QL = BQR. А так как А1В - прямая, то ∠А1QL и BQR - вертикальные и по определению LR - прямая, проходящая через точку Q. Следовательно, сечение проходит через точку Q и точки Q, M, N и K лежат в плоскости сечения, что и требовалось доказать.
б) Отметим, что ∠LQN = RQN = 90° так как QN параллельна плоскости основания, а плоскость АА1В1В перпендикулярна плоскости основания. KL║NQ║MR.
Тогда QNKL и QNMR - равные прямоугольные трапеции.
В трапеции NKLQ основания NQ = (√3/2)·a (как высота правильного треугольника) NQ = (√3/2)·8 = 4√3 ед.
KL = (1/2)·NQ = 2√3 ед. (средняя линия треугольника NHQ).
LQ = √(LJ²+JQ²) = √(4+2) = √6 ед. (по Пифагору).
Площадь трапеции Snklq = (KL+NQ)·LQ/2 = (2√3+4√3)·√6/2 = 9√2 ед².
Тогда Snklrm = 2·Snklq = 18√2 ед².