Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости

Показать ответ

Ответ:

Kseniamaria

24.05.2020 15:22

Пусть - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа.

Пусть - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки).

Тогда радианная мера дуги $\alpha$ , ограничивающей искомый сектор равна:

$\alpha=\frac{x}{l}$ ---------(1)

Нам необходимо найти при каком объем воронки (правильного конуса)

будет наибольшим. Запишем формулу объема конуса:

$V=\frac{\pi*R^{2}*h}{3}$ --------(2)

где - радиус основания конуса; - высота конуса

Поскольку длина окружности основания конуса равна , то отсюда

$R=\frac{x}{2\pi}$ --------(3)

Высоту конуса найдем с теоремы Пифагора:

$h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}$ -------(4)

Подставим в (4) вместо выражение (3):

$h=\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}$ --------(5)

Подставим в (2) вместо и соотвественно выражения (3) и (5), получим:

$V=A*x^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}$ --------(6)

где $A=\frac{1}{12\pi}$

Очевидно, что естественной областью определения объема как функции от есть интервал:

$0<x<2\pi*l$ ------(7)

Продифференцируем (6) по :

$V^{'}_{x}=A(2x\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}-\frac{x^{3}}{4{\pi}^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}})$ , отсюда

$V^{'}_{x}=\frac{Ax\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}(8{\pi}^{2}l^{2}-3x^{2})}{4{\pi}^{2}(l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2})}$ --------(8)

Чтобы функция (6) имела на естественной области ее определения максимум или минимум, необходимо чтобы $V^{'}_{x}=0$ --------(9)

Тогда из (8) и (9) получим:

$8{\pi}^2-3x^{2}=0$ , отсюда с учетом, что , найдем критическую точку:

$x_{o}=\pi*l*\sqrt{\frac{8}{3}}$ , или

$x_{o}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3}$

Поскольку естественной области определения (7) принадлежит только одна критическая точка $x_{o}$ и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка $x_{o}$ - точка максимума функции (6). Другими словами, при $x_{o}$ объем воронки будет наибольшим.