Изучи примеры выполнения упражнений. Пример
1
1
Выполни сравнение выражений, не вычисляя их:
1
5
−
3
15
+
(
1
3
+
1
4
)
15−315+(13+14)
и
2
5
−
3
15
.
25−315.
Решение
Внимательно рассмотрим данные выражения и увидим, что
2
5
=
1
5
+
1
5
,
25=15+15,
следовательно, сравниваем выражения:
1
5
−
3
15
+
(
1
3
+
1
4
)
15−315+(13+14)
и
1
5
+
1
5
−
3
15
.
15+15−315.
Нетрудно заметить, что в них есть одинаковые части
1
5
−
3
15
.
15−315.
Мысленно вычтем эту разность из каждого выражения и получим:
1
3
+
1
4
13+14
и
1
5
.
15.
Чтобы сравнить сумму дробей и дробь, сначала сравним каждое слагаемое с этой дробью:
1
3
>
1
5
;
13>15;
1
4
>
1
5
.
14>15.
Так как и первое, и второе слагаемое больше дроби, то и сумма будет больше дроби:
1
3
+
1
4
>
1
5
.
13+14>15.
Значит, первое выражение больше второго:
1
5
−
3
15
+
(
1
3
+
1
4
)
>
2
5
−
3
15
.
15−315+(13+14)>25−315.
Пример
2
2
Выполни сравнение выражений, не вычисляя их:
1
5
+
1
3
−
1
10
15+13−110
и
5
7
−
1
6
+
1
2
.
57−16+12.
Решение
Посмотрев на первое выражение, можно увидеть, что
1
5
=
1
10
+
1
10
,
15=110+110,
тогда имеем:
1
10
+
1
10
+
1
3
−
1
10
=
1
10
+
1
3
.
110+110+13−110=110+13.
Посмотрев на второе выражение, можно увидеть, что
1
2
=
1
⋅
3
2
⋅
3
=
3
6
=
1
6
+
2
6
,
12=1⋅32⋅3=36=16+26,
тогда имеем:
5
7
−
1
6
+
1
6
+
2
6
=
5
7
+
2
6
=
5
7
+
1
3
.
57−16+16+26=57+26=57+13.
Тогда имеем, что необходимо сравнить выражения
1
10
+
1
3
110+13
и
5
7
+
1
3
.
57+13.
Вычтем из каждого выражения
1
3
13
и получим, что
1
10
<
5
7
,
110<57,
следовательно,
1
5
+
1
3
−
1
10
<
5
7
−
1
6
+
1
2
.
15+13−110<57−16+12.
Пример
3
3
Выполни сравнение выражений, не вычисляя их:
n
4
−
1
7
n4−17
и
n
4
+
1
18
.
n4+118.
Решение
В обоих выражениях есть одинаковая дробь
n
4
.
n4.
Из этой дроби в левом выражении вычитается дробь
1
7
,
17,
а в правом — прибавляется дробь
1
18
.
118.
Из этого можно сделать вывод, что первое выражение меньше второго:
n
4
−
1
7
<
n
4
+
1
18
.
n4−17
14
f
−
1
23
.
13+14f>14f−123.
Выполни следующие задания самостоятельно.
Задание
1
1
Выполни сравнение выражений, не вычисляя их:
1
7
−
5
21
+
(
1
2
+
1
5
)
17−521+(12+15)
и
4
7
−
5
21
.
47−521.
Задание
2
2
Выполни сравнение выражений, не вычисляя их:
1
7
+
1
2
−
1
14
17+12−114
и
2
3
−
1
10
+
3
5
.
23−110+35.
Задание
3
3
Выполни сравнение выражений, не вычисляя их:
n
8
+
1
3
n8+13
и
n
8
+
1
5
.
n8+15.
Задание
4
4
Выполни сравнение выражений, не вычисляя их:
7
f
−
1
8
7f−18
и
7
f
+
1
75
.
Далее, для описания манипуляций с видами будем использовать термины:
RT (правый единичный поворот на 90 градусов по часовой стрелке) ,
LT (левый единичный поворот на 90 градусов против часовой стрелки) ,
UT (разворот на 180 градусов)
Наша начальная цель: собрать из пяти видов верхнюю часть куба, т.е. его грани, стоящие над столом. Будем считать, что мы смотрим на стол с кубом сверху. Верхнюю часть куба, состоящую из пяти видов, будем собирать в виде крестовой раскладки.
В центре креста раскладки будет верхняя грань, которая смотрит на нас, когда мы смотрим вниз на стол с кубом. Дальняя от нас (сверху экрана, если смотреть на ноутбук) часть креста раскладки: это задняя сторона куба. Ближняя к нам (снизу экрана, если смотреть на ноутбук) часть креста раскладки: это передняя сторона куба. Левая часть креста раскладки – это левая сторона куба и правая часть раскладки – соответственно правая сторона.
Важно понимать, что на стыках видов (на рёбрах) при составлении раскладки должны совпадать цветные квадратики на краях видов: чёрный к чёрному и белый к белому, поскольку рёбра куба одновременно являются и рёбрами маленьких кубиков, каждый из которых обладает однотонным окрасом со всех сторон.
Перебор возможных вариантов удобно делать на черновике с карандашом и бумагой, либо с ручкой, но тогда нужно зачёркивать неудачные варианты.
Перебор должен быть системным, иначе мы пропустим тот или иной вариант, и можем пропустить и нужный нам вариант. В качестве системы можно предложить, например, такой график просмотра вариантов.
1. Выбираем вид для верхней грани куба, т.е. для центра креста раскладки (сначала первый, потом второй и т.д.)
2. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной) грани, пытаемся подмонтировать в качестве задней грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.
3. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной) и задней граней, пытаемся подмонтировать в качестве правой грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.
4. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной), задней и правой граней, пытаемся подмонтировать в качестве передней грани к нему другие виды. Опять же по порядку видов.
5. Когда выбран какой-то вид для верхней (центральной), задней, правой и передней граней, пытаемся подмонтировать в качестве левой грани к нему оставшийся вид.
При этом нужно следить, чтобы совпадали рёбра не только верхней (центральной) грани с боковыми, но и рёбра между боковыми гранями.
Перед перебором нужно отметить, что грани 3-его и 5-ого видов – несовместимы. Как их не крути, их рёбра никогда не совместятся. Значит, ни один из этих видов не может служить верхней гранью куба, поскольку иначе он бы взаимодействовал по ребру с несовместным видом. Кроме того, эти несовместные виды не могут быть рядом и на соседних боковых гранях. Таким образом, мы понимаем, что при переборе 3-ий и 5-ый виды можно размещать только на противоположных гранях.
Последовательный перебор из, примерно десятка неудачных – приводит к единственному хорошему варианту:
В центре креста раскладки: 2-ой вид.
Слева: 3-ий вид.
Справа: 5ый вид RT.
Сзади: 1-ый вид.
Впереди: 4-ый вид UT.
Эта раскладка показана на первом рисунке. Обратите внимание, что по раскраске совмещены не только рёбра на стыке видов центральных и боковых граней, но и рёбра на стыке соседних боковых граней.
Теперь очень аккуратно в строгом соответствии с буквами-метками (они должны совместиться) переворачиваем раскладку, так чтобы получилась нижняя грань. Это показано на втором рисунке и там уже проявляется по совмещениям на рёбрах вид нижней грани.
Если взглянуть на предлагаемые варианты, то мы можем легко убедиться, что подходит и вариант (А) и вариант (Д) при повороте их на LT.
Выбрать нужный вариант – можно только сосчитав количество белых (их должно быть 12) и чёрных кубиков (их должно быть 15).
Смотрим на первую раскладку. На верхней грани – 3 белых. В среднем видимом слое, в том, что зажат между верхней и нижней гранью (состоящем из 8 кубиков) – 4 белых. В нижней грани (что можно увидеть на второй картинке) – как минимум 3 кубика.
Всего в видимой и известной части кубика мы насчитали 10 белых кубиков. А должно их быть 12. Значит, один белый кубик находится в центре куба (он невидим) и ещё один белый кубик мы можем разместить в положение, отмеченное на втором рисунке знаком вопроса.
А значит, окончательно, нам подходит вариант (Д)
О т в е т :