Известно что у двух многочленов pn(x) и qm(x) с целыми коэффициентами сумма этих коэффициентов одинакова. доказать что pn((2017) делится без остатка на 2016
Вторая сумма и есть сумма всех коэффициентов. Несложно показать, что первая сумма делится на 2016. Рассмотрим любое ее слагаемое и разложим двучлен по формуле бинома Ньютона
Итак, общий множитель вынесся, а под суммой стоят только целые числа,так что все хорошо.
Аналогично мы разложим многочлен Qm(2017) и тоже представим его в виде чего-то, что делится на 2016 и суммы его коэффициентов. Когда мы посмотрим на разницу Pn(2017)-Qm(2017), суммы коэффициентов этих многочленов друг друга уничтожат и останется разность двух сумм, каждая из которых делится на 2016. Значит и разность будет делиться на 2016
Рассмотрим Pn(2017) и перегруппируем члены
Вторая сумма и есть сумма всех коэффициентов. Несложно показать, что первая сумма делится на 2016. Рассмотрим любое ее слагаемое и разложим двучлен по формуле бинома Ньютона
Итак, общий множитель вынесся, а под суммой стоят только целые числа,так что все хорошо.
Аналогично мы разложим многочлен Qm(2017) и тоже представим его в виде чего-то, что делится на 2016 и суммы его коэффициентов. Когда мы посмотрим на разницу Pn(2017)-Qm(2017), суммы коэффициентов этих многочленов друг друга уничтожат и останется разность двух сумм, каждая из которых делится на 2016. Значит и разность будет делиться на 2016