Какое одно и то же число нужно прибавить к числам 100 и 164, чтобы обе полученные суммы были квадратами целых чисел? ответ обосновать.

Мы знаем,что корень из 100 это 10.
а корень из 164 близко к 13.
поэтому возводим в квадрат,числа которые больше 13.
1)14×14=196. к первому числу+96,ко второму+96.получаем 196 и 260
из корня 260 ничего не выходит.
Берём следующее число:
2)15×15=225. первое число+125,второе+125.получаем 225 и 289.
√225=15
√289=17
ответ: к каждому числу надо прибавить 125

Необходимо найти такое число х, чтобы

164 + х = а² и 100 + х = b², где а и b - целые числа,

причем a > b, a > 12, b > 10. a + b > 22.

Вычтем из первого уравнения второе.

Получим: 64 = (a + b)(a - b).

Если a + b = 64, и a - b = 1, то 2а = 65.

Этого быть не может, так как а - целое число.

Рассмотрим следующий вариант:

a + b = 32, a - b = 2. Отсюда а = 17, b = 15.

Это удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, х = 125.

ответ: 125.