Пусть второй рабочий делает х деталей в час. Тогда первый - х+5 деталей в час. Второй рабочий выполнит заказ за 90/х часов, первый за 90/(х+5) часов. По условию время выполнения заказа первым рабочим меньше на 3 часа. (90:х)-[90:(х+5)]=3 ⇒ 90х+450-90х=3•(x²+5x) откуда 3х²+15х-450=0 Решив квадратное уравнение, получим х1=10, х2=-15 и не подходит. Второй рабочий делает 10 деталей в час. 90:10=9 часов - столько времени нужно второму рабочему для выполнения заказа. 90:15=6 часов - столько нужно первому. 9-6=3 - разница в нужном времени.
Даны координаты пирамиды: A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(5,7,4), A4(4,10,9). 1) Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Для вектора A1A2 X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2 A1A2 (AB)(4;-6;4) A1A4 (AD)(3;2;7)
Угол между ребрами. Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: где a1*a2 = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2. Найдем угол между ребрами A1A2(4;-6;4) и A1A4(3;2;7): cosα = (4*3+(-6)*2+4*7)/(√68*√62) = 0,431. α = arccos(0.431) = 64,4560°.
2) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: Найдём вектор A1A3 (АС)(4;-1;2), его модуль равен √(16+2+4) = √21 ≈ 4,583. Векторное произведение: i j k 4 -6 4 4 -1 2= =i((-6)*2-(-1)*4) - j(4*2-4*4) + k(4(-1)-4(-6)) = -8i + 8j + 20k S=(1/2)*|A1A2→⋅A1A3→|=(1/2)*|−8i+8j+20k|=(1/2)*√(8²+8²+20²) =(1/2)√528 ≈ 11,489.
3) Объем пирамиды равен: (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3. Сначала используем найденное векторное произведение АВ*АС: (AB)(4;-6;4)*(АС)(4;-1;2) = x y z AB*AC: -8 8 20, затем умножаем на вектор АД: АВ*АС*АД = |(-8)*3+8*2+20*7| = 132. Объём V пирамиды равен: V = (1/6)*(АВ*АС*АД) = (1/6)*132 = 20 куб.ед.
4) Длина высоты Н, проведенной из вершины D на основание АВС, равно: Н = 6*V/(S(ABC)) = 6*22/((1/2)√528) = 5,744563.
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C. Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1= 0 Уравнение плоскости A1A2A3 (ABC) x-1 y-8 z-2 4 -6 4 4 -1 2 = 0 (x-1)((-6)*2-(-1)*4) - (y-8)(4*2-4*4) + (z-2)(4(-1)-4(-6)) = -8x + 8y + 20z-96 = 0 Упростим выражение: -2x + 2y + 5z - 24 = 0. Можно умножить на -1, чтобы коэффициент при х был положительным: АВС: 2х - 2у - 5z + 24 = 0.
Тогда первый - х+5 деталей в час.
Второй рабочий выполнит заказ за 90/х часов, первый за 90/(х+5) часов.
По условию время выполнения заказа первым рабочим меньше на 3 часа.
(90:х)-[90:(х+5)]=3 ⇒
90х+450-90х=3•(x²+5x) откуда
3х²+15х-450=0
Решив квадратное уравнение, получим х1=10, х2=-15 и не подходит.
Второй рабочий делает 10 деталей в час.
90:10=9 часов - столько времени нужно второму рабочему для выполнения заказа.
90:15=6 часов - столько нужно первому.
9-6=3 - разница в нужном времени.
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2
A1A2 (AB)(4;-6;4)
A1A4 (AD)(3;2;7)
Модули векторов (длина ребер пирамиды).
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
|a| = √(X²+Y²+Z²).
A1A2 (AB) = √(4²+(-6)²+4²) = √68 ≈ 8,246.
A1A4 (AD) = √(3²+2²+7²) = √62 ≈ 7,874.
Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1*a2 = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2.
Найдем угол между ребрами A1A2(4;-6;4) и A1A4(3;2;7):
cosα = (4*3+(-6)*2+4*7)/(√68*√62) = 0,431.
α = arccos(0.431) = 64,4560°.
2) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Найдём вектор A1A3 (АС)(4;-1;2),
его модуль равен √(16+2+4) = √21 ≈ 4,583.
Векторное произведение:
i j k
4 -6 4
4 -1 2=
=i((-6)*2-(-1)*4) - j(4*2-4*4) + k(4(-1)-4(-6)) = -8i + 8j + 20k
S=(1/2)*|A1A2→⋅A1A3→|=(1/2)*|−8i+8j+20k|=(1/2)*√(8²+8²+20²) =(1/2)√528 ≈ 11,489.
3) Объем пирамиды равен:
(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
Сначала используем найденное векторное произведение АВ*АС:
(AB)(4;-6;4)*(АС)(4;-1;2) =
x y z
AB*AC: -8 8 20, затем умножаем на вектор АД:
АВ*АС*АД = |(-8)*3+8*2+20*7| = 132.
Объём V пирамиды равен: V = (1/6)*(АВ*АС*АД) = (1/6)*132 = 20 куб.ед.
4) Длина высоты Н, проведенной из вершины D на основание АВС, равно:
Н = 6*V/(S(ABC)) = 6*22/((1/2)√528) = 5,744563.
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1= 0
Уравнение плоскости A1A2A3 (ABC)
x-1 y-8 z-2
4 -6 4
4 -1 2 = 0
(x-1)((-6)*2-(-1)*4) - (y-8)(4*2-4*4) + (z-2)(4(-1)-4(-6)) = -8x + 8y + 20z-96 = 0
Упростим выражение: -2x + 2y + 5z - 24 = 0.
Можно умножить на -1, чтобы коэффициент при х был положительным:
АВС: 2х - 2у - 5z + 24 = 0.