Можно ли в некоторые клетки таблицы 8×8 написать единицы, а в остальные нули - нули, так чтобы во всех столбцах была разная сумма, а во всех строчках - одинаковая ?

ответ - можно. Пример во вложении.
В каждом столбце единиц может быть от 0 до 8.
Минимальное количество единиц в таблице - 0 + 1 + 2 + ... + 7 = 28
Максимальное - 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 36.
Так как во всех строках количество единиц одинакого, то общее число единиц в таблице должно быть кратно 8.
Единственное число, кратное 8 в диапазоне от 28 до 36 - это 32.
Тогда в каждой строке ровно 4 единицы, а в столбцах единиц:
0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8. (в различных столбцах различное количество).
Дальнейшее построение примера не составляет труда - идем от наибольшего количества к наименьшему (заполняем по столбцам).