На доске написаны несколько различных чисел. известно, что сумма любых трех написанных чисел рациональна, а сумма любых двух написанных чисел- иррациональна какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске? ,
Просто число 3.Предположим, что на доске написано не меньше четырёх чисел. Обозначим любые четыре из них через a , b , c , d . Тогда числа a b c и a b d будут рациональными. Значит, и их разность, равная (b c d) (a b c) = d a также будет рациональным числом. Аналогично можно показать, что b a и c a будут рациональными. Таким образом, = 1 b a r , = 2 c a r , = 3 d a r , где 1 r , 2 r , 3 r – рациональные числа. Но, поскольку число = 3 1 2 a b c a r r рационально, число a также рационально. Значит, и число = 2 1 a b a r рационально, что противоречит условию. Итак, на доске не более трёх чисел. Осталось заметить, что на доске могли быть написаны три числа, удовлетворяющие условию, например, 2 , 2 2 , 3 2 .
