На изготовление открытого контейнера объёмом 10 м^3 в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из боковых граней которого – квадрат, требуются уголки по длине всех рёбер (12 рёбер) и фанера на боковые стенки и пол. Цена уголков – 20 рублей за погонный метр, фанеры – 60 рублей за квадратный метр. Каковы должны быть размеры контейнера, чтобы расходы на материал были минимальны? Чему равны эти расходы?
Размеры контейнера:
а=2,62м ; в=1,96м.
Минимальные расходы на изгоьовление:
1720руб.
Пошаговое объяснение:
Дано:
V=10м^3
V=а×в×в
1м^2(фан.)=60руб.
1п/м(угол)=20руб.
Найти:
Стоимость( мин.)=?
Формула обьема прямоуг. параллелепипеда
а×в×в=V
а×в^2=V
а=10/в^2
S поверхности без крышки:
S=3ab+2в^2 (так как две боковые стенки -
квадраты -- 2в^2, а три другие, включая днище, равные прямоугольники -- 3ав ).
S=3×(10/в^2)×в+2в^2=30/в+2в^2
S является функцией от в.
Находим производную:
S'=(30/в+2в^2)'=(30/в)'+(2в^2)'=4в-(30/в^2)
S'=0
4в-(30/в^2)=0
2в-(15/в^2)=0
2в=15/в^2С
2в^3=15
в^3=15/2
в^3=7,5
в=1,957(м)
а=10/(1,957^2)=2,611(м)
Стоимость фанеры:
С(1)=S×60=(3ав+2в^2)×60=
=(3×2,611×1,957+2×1,957×1,957)×60=1380(руб.)
Количество уголков:
4в+2в+2а=6в+2а
Четыре вертикальных ребра в, 2 горизон -
тальных ребра в и еше 4 горизонтальных
ребер а.
Стоимость уголков ( длины в и а округляем
с избытком) :
С(2)=(6×1,96+2×2,62)×20=340(руб).
Расходы на изготовоение контейнера:
С=С(1)+С(2)=1380+340=1720(руб).
1) совсем точно:
ребро квадрата = 2,01 м
фронтальные ребра = 2,4751862577659 м
стоимость уголков = 519,614900621272 руб.
стоимость фанеры = 1380,3343880597 руб.
общая стоимость = 1899,94928868097 руб.
2) с человеческими приближениями:
ребро квадрата = 2 м
фронтальные ребра = 2,5 м
стоимость уголков = 520 руб.
стоимость фанеры = 1380 руб.
общая стоимость = 1900 руб.
Пошаговое объяснение:
см. рис.
Пусть ребро квадрата будет х
фронтальное ребро будет у
Длину фронтального ребра можно вычислить, и она будет зависима от х:
V = x*x*y = 10 откуда получаем:
y = 10/x²
Длина ребер будет: L = 2*4*x + 4*(10/x²)
Площадь граней будет: S = 2*x² + 3*x*(10/x²) = 2*x² + 30/x
Стоимость материалов будет:
20*L + 60*S
Можно выразить стоимость материалов как функцию от длины ребра боковой грани. Получим:
Sum(х) = 20* (2*4*x + 4*(10/x²)) + 60 * (2*x² + 30/x)
Дальше нужно найти минимум данной функции....
Поскольку я ленив, то просто построил соответствующий график
см. рис.
Из его видно, что минимум очень близок к 2. Это значение можно и брать как решение.
Разница в сумме от алгебраического минимума (х=2,01) и приближенного минимума х = 2 составляет 5 копеек (примерно)
поэтому берем х=2 и все хорошо считается.
Если считать аналитически, то....
Sum(х) = 20* (2*4*x + 4*(10/x²)) + 60 * (2*x² + 30/x)
Sum(х) = 160*x + 800/x² + 120*x² + 1800/x
Sum(х) = 120*x² + 160*x + 1800/x + 800/x²
надо решить уравнение:
Sum'(х) = 0
Sum'(х) = 240x + 160 + 1800*(1/x)' + 800*(1/x²)'
----
(1/x)' = - 1 / x²
(1/x²)' = - 2 / x³
----
Sum'(х) = 240x + 160 + 1800*(- 1 / x²) + 800*(- 2 / x³)
решаем уравнение:
240x + 160 + 1800*(- 1 / x²) + 800*(- 2 / x³) = 0
24x + 16 + 180*(- 1 / x²) + 80*(- 2 / x³) = 0
6x + 4 + 45*(- 1 / x²) + 20(- 2 / x³) = 0
6x + 4 - 45 / x² - 40 / x³ = 0
кроме, как построить точки данного графика, я решений в рамках школьного курса не вижу,
поэтому:
х = 0, Sum'(0) = -40
х = 1, Sum'(1) = -75
х = 2, Sum'(2) = 6*16 + 4*8 - 90 - 40 = 96 + 32 - 130 = 128 - 130 = -2 (очень близко к 0)
х = 3, Sum'(3) = 6*9*9 + 4*9*3 - 45*3 - 40 = 419 (намного выше 0), следовательно корень - очень близко к 2.
Прим.:
Не думаю, что в рамках экзамена это ктото сможет решить...