На клетчатой бумаге нарисовали большой квадрат. его разрезали на несколько одинаковых средних квадратов. один из средних квадратов разрезали на несколько одинаковых маленьких квадратов. стороны всех квадратов проходят по линиям сетки. найдите длины сторон большого, среднего и маленького квадратов, если сумма их площадей равна 154.
Пошаговое объяснение:
ответ: 12, 3 и 1 соответственно.
Решение. Из условия задачи следует, что длина стороны каждого квадрата – натуральное число,
причем длина стороны каждого квадрата является делителем длины стороны предыдущего. Пусть длина
стороны маленького квадрата равна а, среднего – ka, большого – mka. Тогда (mka)
2
+ (ka)
2
+ a
2
= 154
a
2
(m
2
k
2
+ k
2
+ 1) = 154.
Из полученного равенства следует, что 154 кратно a
2
. Так как 154 = 2711, то оно кратно только 12
, то
есть а = 1. Тогда k
2
(m
2
+ 1) = 153. Следовательно, 153 делится на k
2
. Учитывая, что 153 = 32
17 и k > 1,
получим: k = 3. Подставляя найденное значение k в предыдущее равенство, получим, что m = 4. Таким
образом, длины сторон квадратов равны: маленького – 1, среднего – 3, большого – 12.
Можно также составить уравнение a
2
+ b2
+ c2
= 154, где а, b и c – искомые длины, найти все его
натуральные решения и отобрать из них то, которое удовлетворяет условию. В этом случае, перебор
должен быть полным и обоснованным, в частности, должна быть найдена и отброшена тройка (9; 8; 3).