На клетчатой бумаге закрашен квадрат из нескольких клеток, стороны которого лежат на линиях сетки. известно, что чтобы получить больший квадрат с таким условием, нужно дозакрасить 43 клетки. найдите сторону исходного квадрата.

Площадь меньшего квадрата: S = a² (кл.²)
Площадь большего квадрата: S₁ = a₁² = (a+x)² (кл.²), 
где х - разница в длине стороны большего и меньшего квадратов.

Так как S₁ = S+47, то:
                                     (a + x)² = a² + 47
                                     a² + 2ax + x² = a² + 47
                                     x(2a + x) = 47   

Так как 47 - простое число, то существует единственное разложение этого числа на множители:
                                     47 = 47*1
Следовательно, х = 1  и  2а = 46
                                            а = 23 (кл.)        а+1 = 24 (кл.)

Проверим:
                    24² - 23² = 47
                   576 - 529 = 47
                             47 = 47   

ответ: сторона исходного квадрата 23 клетки.