Получилось уравнение с разделяющимися переменными. du/sqrt(1 + u^2) = 3dx / |x| Интеграл от правой части равен ln Cx^3 Интеграл от левой части тоже известный, очевидно, будет arsh u (если это не очевидно, сделайте замену u <- iu, получится табличный интеграл i arcsin(iu) = arsh u). Известно, что arsh u = ln(u + sqrt(u^2+1)).
f(t) = 2t⁴ - синий график, чётная функция, симметричен относительно оси ординат, при t => - ∞ и + ∞ , f(t) => + ∞ g(t) = t + 3 - оранжевый график, линейная функция, возрастающая
Графики функций пересекаются в 2 точках: А и В.
Первый корень несложно найти, t₁ = - 1 ⇒ f(t₁) = 2. Если построить точку А (-1;2) симметрично, относительно оси ординат, то попадаем в точку t₀ = С (1;2). График функции f(t) при t ≥ 0 возрастает, поэтому f(t₂) > f(t₀) ⇒ t₂ > t₀ ⇒ t₂ > 1 , но t ∈ [ - 1 ; 1 ] ⇒ ∅
t = - 1 ⇔ cos4x = - 1 ⇔ 4x = π + 2πn ⇔ x = (π/4) + (πn/2), n ∈ Z
xy' - y = 3 (x^2 + y^2)^(1/2)
x^2 u' + xu - xu = 3|x| (u^2 + 1)^(1/2)
u' = 3(u^2 + 1)^(1/2) / |x|
Получилось уравнение с разделяющимися переменными.
du/sqrt(1 + u^2) = 3dx / |x|
Интеграл от правой части равен ln Cx^3
Интеграл от левой части тоже известный, очевидно, будет arsh u (если это не очевидно, сделайте замену u <- iu, получится табличный интеграл i arcsin(iu) = arsh u). Известно, что arsh u = ln(u + sqrt(u^2+1)).
ln(u + sqrt(u^2 + 1)) = ln Cx^3
u + sqrt(u^2 + 1) = Cx^3
u^2 + 1 = u^2 - 2uCx^3 + C^2 x^6
2u Cx^3 = C^2 x^6 - 1
u = (C^2 x^6 - 1)/(2Cx^3)
y(x) = x u(x) = (C^2 x^6 - 1)/(2C x^2)
2cos⁴4x - cos4x - 3 = 0
2cos⁴4x = cos4x + 3
Пусть cos4x = t, t ∈ [ - 1 ; 1 ], тогда
2t⁴ = t + 3
Нарисуем графики функций обеих частей уравнения:
f(t) = 2t⁴ - синий график, чётная функция, симметричен относительно оси ординат, при t => - ∞ и + ∞ , f(t) => + ∞ g(t) = t + 3 - оранжевый график, линейная функция, возрастающаяГрафики функций пересекаются в 2 точках: А и В.
Первый корень несложно найти, t₁ = - 1 ⇒ f(t₁) = 2. Если построить точку А (-1;2) симметрично, относительно оси ординат, то попадаем в точку t₀ = С (1;2). График функции f(t) при t ≥ 0 возрастает, поэтому f(t₂) > f(t₀) ⇒ t₂ > t₀ ⇒ t₂ > 1 , но t ∈ [ - 1 ; 1 ] ⇒ ∅
t = - 1 ⇔ cos4x = - 1 ⇔ 4x = π + 2πn ⇔ x = (π/4) + (πn/2), n ∈ Z
ответ: (π/4) + (πn/2), n ∈ Z