Набор, состоящий из чисел a, b, c, заменили на набор a4 – 2b2, b4 – 2c2, с4 – 2а2. в результате получившийся набор совпал с исходным. найдите числа a, b, c, если их сумма равна (– 3). в ответе укажите число b.
Метод-угадайка подсказывает, что a = b = c = -1. Проверим это.
Дано, что a + b + c = -3. Также можно понять, что (a^4 - 2b^2) + (b^4 - 2c^2) + (c^4 - 2a^2) = (a^4 + b^4 + c^4) - 2(a^2 + b^2 + c^2) = (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (c^2 - 1)^2 - 3 = -3
Сокращая -3, получаем (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (c^2 - 1)^2 = 0, откуда a^2 = b^2 = c^2 = 1. Совместно с условием a + b + c = -3 это могут быть только a = b = c = -1. Подстановкой убеждаемся, что эта тройка подходит.
Дано, что a + b + c = -3. Также можно понять, что
(a^4 - 2b^2) + (b^4 - 2c^2) + (c^4 - 2a^2) = (a^4 + b^4 + c^4) - 2(a^2 + b^2 + c^2) = (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (c^2 - 1)^2 - 3 = -3
Сокращая -3, получаем (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (c^2 - 1)^2 = 0, откуда a^2 = b^2 = c^2 = 1. Совместно с условием a + b + c = -3 это могут быть только a = b = c = -1. Подстановкой убеждаемся, что эта тройка подходит.
ответ. -1