1. Записать двойной интеграл в виде повторного, расставив пределы интегрирования в том и другом порядке:
Решение. Изобразим область (см. вложение 1).
Имеем:
— полудуги окружности слева и справа.
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движению в горизонтальном направлении от дуги до дуги (см. вложение 2).
— полудуги окружности сверху и снизу.
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движения в вертикальном направлении от дуги до дуги (см. вложение 3).
2. Найти частные производные второго порядка функции:
Решение. Найдём частную производную первого порядка по считая что — переменная, — постоянная:
Найдём частную производную первого порядка по считая что — переменная, — постоянная:
Найдём частную производную второго порядка по
Найдём частную производную второго порядка по
Найдём частную производную функции по
3. Исследовать на сходимость ряд с общим членом
Решение. Найдем
Найдем предел:
Таким образом, по признаку Даламбера ряд с общим членом является сходящим.
Пошаговое объяснение:
а) Может, например: 1009 ; 10 ; 1
б ) Нет , потому что число и сумма его цифр имеют равные остатки при делении на 3, а значит, сумма этих трёх чисел должна быть кратна 3.
в ) Последнее равно 3, значит, 2 число равно 12 или 21.
Цифры, сумма которых равна 12:
12 = 0+3+9 = 0+4+8 = 0+5+7 = 0+6+6 = 1+2+9 = 1+3+8 = 1+4+7 = 1+5+6 =
= 2+2+8 = 2+3+7 = 2+4+6 = 2+5+5 = 3+3+6 = 3+4+5
Теперь считаем.
Из цифр 039, 048, 057 можно сложить по 4 числа. Всего 3*4 = 12 чисел.
Из 066 можно сложить 2 числа: 606 и 660.
Из 3 разных цифр можно сложить по 6 чисел. Всего 7*6 = 42 числа.
Из цифр 228, 255, 336 можно сложить по 3 числа. Всего 3*3 = 9 чисел.
Всего 12 + 2 + 42 + 9 = 65 троек.
Цифры, сумма которых равна 21:
21 = 3+9+9 = 4+8+9 = 5+7+9 = 5+8+8 = 6+7+8 = 7+7+7
Из цифр 399 и 588 можно сложить по 3 числа. Всего 3*2 = 6 чисел.
Из 3 разных цифр можно сложить по 6 чисел. Всего 3*6 = 18 чисел.
Число 777 - только 1 число.
Всего 6 + 18 + 1 = 25 троек.
Итого получается 65 + 25 = 90 троек.
1. Записать двойной интеграл в виде повторного, расставив пределы интегрирования в том и другом порядке:
Решение. Изобразим область
(см. вложение 1).
Имеем:
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси
Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движению в горизонтальном направлении от дуги
до дуги
(см. вложение 2).
Тогда повторный интеграл:
Пояснение. Первый слева интеграл имеет пределы интегрирования от наименьшего значения до наибольшего значения по оси
Второй интеграл имеет пределы интегрирования по движения в вертикальном направлении от дуги
до дуги
(см. вложение 3).
2. Найти частные производные второго порядка функции:
Решение. Найдём частную производную первого порядка по
считая что
— переменная,
— постоянная:
Найдём частную производную первого порядка по
считая что
— переменная,
— постоянная:
Найдём частную производную второго порядка по![x \colon](/tpl/images/2006/9005/93fc7.png)
Найдём частную производную второго порядка по![y \colon](/tpl/images/2006/9005/930e8.png)
Найдём частную производную функции
по ![x \colon](/tpl/images/2006/9005/93fc7.png)
3. Исследовать на сходимость ряд с общим членом![a_{n} \colon](/tpl/images/2006/9005/79745.png)
Решение. Найдем![a_{n+1}\colon](/tpl/images/2006/9005/fdf30.png)
Найдем предел:
Таким образом, по признаку Даламбера ряд с общим членом
является сходящим.