Натуральное число n назовём хорошим, если это наименьшее натуральное число, для которого все гири набора 1,2,3,...,n граммов (каждая гиря встречается по разу) можно разложить на чаши двухчашечных весов так, чтобы уравновесить камень в 57 граммов. Какое наибольшее количество гирь при уравновешивании можно положить в чашу с камнем?

Пошаговое объяснение:

Сначала заметим, что сумма 1+2+...+n+57 должна быть четным числом, чтобы камень и гирьки можно было разложить на две равных чаши.

Отсюда сумма S = 1+2+...+n должна быть нечетной.

Найдем, при каком минимальном n можно уравновесить камень весом 57 грамм.

n = 10: S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 < 57 - мало.

n = 11: S = 55 + 11 = 66 > 57. Но S четное, поэтому не подходит.

n = 12: S = 66 + 12 = 78 - опять четное.

n = 13: S = 78 + 13 = 91 - подходит. Попробуем разложить на чаши.

Масса на каждой чаше должна быть:

m = (91 + 57)/2 = 148/2 = 74

На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+7 = 57 + 17 = 74

На второй чаше: 5+6+8+9+10+11+12+13 = 19+10+20+25 = 29+45 = 74

На одной чаше с камнем получилось 5 гирек: 1,2,3,4,7.

n = 14: S = 91 + 14 = 105 - подходит. Раскладываем на чаши.

m = (105 + 57)/2 = 162/2 = 81

На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+9 = 57 + 24 = 81

На второй чаше: 6+7+8+10+11+12+13+14 = 20+15+10+11+25 = 45+36 = 81

На одной чаше с камнем получилось 6 гирек: 1,2,3,4,5,9

И мне кажется, что при увеличении n количество гирек на чаше с камнем может расти неограниченно.

Например, при n = 17: S = 153, m = (153+57)/2 = 210/2 = 105

На одной чаше: 57 + 1+2+3+4+5+6+7+9+11 = 57 + 28 + 20 = 105

На другой чаше: 8+10+12+13+14+15+16+17 = 30+30+30+15 = 105

На одной чаше с камнем получилось 9 гирек: 1,2,3,4,5,6,7,9,11.

И так далее.