Будем искать наименьшее неподходящее. Понятно, что это число имеет вид p^k, где p - простое (иначе оно бы разбивалось на произведение двух взаимно простых множителей, больших единицы, являющихся, по предположению, делителем 2010!)
Простое число p входит в разложение числа 2010! на простые множители в степени [2010/p] + [2010/p^2] + [2010/p^3] + ... ([x] - целая часть x)
Посмотрим, какие степени выходят для маленьких простых чисел p.
В наибольшей степени в произведение входит двойка, её степень равна [2010/2] + [2010/4] + [2010/8] + ... + [2010/1024] = 2002 Для p = 2 максимальное возможное k есть [2002/4] = 500.
Дальше тройка: [2010/3] + [2010/9] + [2010/81] + ... + [2010/729] = 1001 Для p = 3 максимальное возможное k есть [1001/4] = 250
Пятерка: [2010/5] + [2010/25] + [2010/125] + [2010/625] = 501 Для p = 5 максимальное возможное k есть [501/4] = 125
Семерка: [2010/7] + [2010/49] + [2010/343] = 333 Для p = 7 максимальное возможное k есть [333/4] = 83
Возникает гипотеза: для нашего случая k = 1. Найдем подходящее число p. Итак, надо найти такое простое p, что предыдущее простое входит в степени, не меньшей четырех, а p - в степени не большей трех. Заметим, что p^2 < 2010 - иначе число p входит в разложение в степени, не меньшей, чем (p - 1), что куда больше четырех при больших p. [2010/p] + [2010/p^2] + ... = [2010/p] < 4 p > 2010/4 Минимальное простое p, удовлетворяющее неравенствам, равно 503.
На этом мотивировочная часть решения закончилась и начинается решение.
РЕШЕНИЕ. Утверждаем, что это число равно 503. Заметим, что для всех n < 503 числа n, 2n, 3n, 4n < 2010 и поэтому 2010! делится на 24n^4 и, в частности, на n^4. Но 2010! делится на 503^3 и не делится на 503^4.
Простое число p входит в разложение числа 2010! на простые множители в степени [2010/p] + [2010/p^2] + [2010/p^3] + ... ([x] - целая часть x)
Посмотрим, какие степени выходят для маленьких простых чисел p.
В наибольшей степени в произведение входит двойка, её степень равна
[2010/2] + [2010/4] + [2010/8] + ... + [2010/1024] = 2002
Для p = 2 максимальное возможное k есть [2002/4] = 500.
Дальше тройка:
[2010/3] + [2010/9] + [2010/81] + ... + [2010/729] = 1001
Для p = 3 максимальное возможное k есть [1001/4] = 250
Пятерка:
[2010/5] + [2010/25] + [2010/125] + [2010/625] = 501
Для p = 5 максимальное возможное k есть [501/4] = 125
Семерка:
[2010/7] + [2010/49] + [2010/343] = 333
Для p = 7 максимальное возможное k есть [333/4] = 83
Сравним числа 2^501 > 3^251 > 5^126 > 7^84.
(Их десятичные логарифмы: 346.5 > 274.7 > 201.2 > 161.5)
Возникает гипотеза: для нашего случая k = 1. Найдем подходящее число p.
Итак, надо найти такое простое p, что предыдущее простое входит в степени, не меньшей четырех, а p - в степени не большей трех. Заметим, что p^2 < 2010 - иначе число p входит в разложение в степени, не меньшей, чем (p - 1), что куда больше четырех при больших p.
[2010/p] + [2010/p^2] + ... = [2010/p] < 4
p > 2010/4
Минимальное простое p, удовлетворяющее неравенствам, равно 503.
На этом мотивировочная часть решения закончилась и начинается решение.
РЕШЕНИЕ.
Утверждаем, что это число равно 503.
Заметим, что для всех n < 503 числа n, 2n, 3n, 4n < 2010 и поэтому 2010! делится на 24n^4 и, в частности, на n^4. Но 2010! делится на 503^3 и не делится на 503^4.