Найдите наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 4, которое увеличивается в 4 раза при перенесении его последней цифры в начало.

Такого числа не существует.
На примере 4хзначных чисел 
старое число: авс4=10авс+4, если увеличить его в 4 раза, то получаем
(10авс+4)*4=40авс+16 
 с другой стороны  новое число 4авс, оно равно
(10авс+4-4)/10+4000=4000+авс
Получаем
40авс+16 =4000+авс
39авс=3984
авс=3984/39=1328/13- делится с остатком, а такого быть не может.

Я сначала начала вот так:

Рассмотрим двузначное число- а4

4(10а+4)=40+а
40а+16=40+а
39а=24
а=24/39- не подходит, т.к. должно быть целым

Рассмотрим трехначное число- ав4

4(100а+10в+4)=400+10в+а
400а+40в+16=400+10в+а
399а+30в=384 разделим на 3
133а+10в=128
133а=128-10в
а=(128-10в)/133- не подходит, т.к. при любом значении не будет целое число

Рассмотрим четырехначное число- авс4

4(1000а+100в+10с+4)=4000+100в+10с+а
4000а+400в+40с+16=4000+100в+10с+а
3900а=3984-300в-30с разделим на 3
1300а=1328-100в-10с
133а+10в=128
133а=128-10в
а=(128-10в)/133- не подходит, т.к. при любом значении не будет целое число

но поняла, что так и будет продолжаться... что нет такого числа.
Как написать первую часть более корректно, что бы было доказательство под число любой значности- не знаю.

Но мне кажется, Вы что-то напутали в условии..Может надо было наоборот 4 в конец ставить?